(2012•枣庄一模)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,椭圆上一点到一个焦点的最大值为3
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(2012•枣庄一模)已知椭圆C
1:
x
(1)由题意,
a+c=3
c a= 1 2,∴a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3,∴椭圆C1的方程为 x2 4+ y2 3=1; (2)由(1)知A(0, 3),且直线AP的斜率存在,设其斜率为k,则直线AP的方程为kx-y+ 3=0 圆C2的圆心坐标为(-4, 3),半径为2 3 ∵直线AP与圆C2相切, ∴ |−4k− 3+ 3|
k2+1=2 3 ∴k=± 3 k= 3时,直线方程代入椭圆方程可得5x2+8x=0,∴x=0或x=- 8 5,∴点P的坐标为(- 8 5,- 3 3 5) 同理可得k=- 3时,点P的坐标为( 8 5,- 3 3 5); (3)设M(x3,y3),P(x4,y4),则N(x3,-y3), 由M,P,E三点共线,可得 y4−y3 x4−x3= y4−0 x4−x1,∴x1= x3y4−x4y3 y4−y3 同理由N,P,F三点共线,可得x2= x3y4+x4y3 y4+y3 ∵M,P在椭圆上,∴ x32 4+ y32 3=1, x42 4+ y42 3=1 ∴x1•x2= x3y4−x4y3 y4−y3× x3y4+x4y3 y4+y3=4 ∴x1•x2是定值,定值为4.
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