(2010•沈阳模拟)如图所示,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱CC1的中点.
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/31 22:59:55
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(I)求三棱锥D1-ACE的体积;
(II)求异面直线D1E与AC所成角的余弦值;
(III)求二面角A-D1E-C的正弦值.
![(2010•沈阳模拟)如图所示,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱CC1的中点.](/uploads/image/z/8576799-15-9.jpg?t=%EF%BC%882010%E2%80%A2%E6%B2%88%E9%98%B3%E6%A8%A1%E6%8B%9F%EF%BC%89%E5%A6%82%E5%9B%BE%E6%89%80%E7%A4%BA%EF%BC%8C%E5%9C%A8%E6%A3%B1%E9%95%BF%E4%B8%BA4%E7%9A%84%E6%AD%A3%E6%96%B9%E4%BD%93ABCD-A1B1C1D1%E4%B8%AD%EF%BC%8C%E7%82%B9E%E6%98%AF%E6%A3%B1CC1%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%EF%BC%8E)
(I)VD1−ACE=VA−D1CE=
1
3×
1
2×2×3×3=
16
3
(II)取DD1的中点F,连接FC,
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/48/2483626a7a85eefacf53e64a2ed64820.jpg)
则D1E∥FC,
∴∠FCA即为异面直线D1E与AC
所成角或其补角.
在△FCA中,AC=4
2,
AF=FC=2
5
∴cos∠FCA=
10
5
∴异面直线D1E与AC所成角的余弦值为
10
5.
(III)过点D作DG⊥D1E于点G,连接AG,由AD⊥面D1DCC1,
∴AD⊥D2E
又∵DG⊥D1E,∴D1E⊥面ADG
∴D1E⊥AG,则∠AGD为二面角A-D1E-C的平面角
∵D1E•DG=DD1•CD,∴DG=
8
5
5AG=
AD2+DG2=
12
1
3×
1
2×2×3×3=
16
3
(II)取DD1的中点F,连接FC,
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/48/2483626a7a85eefacf53e64a2ed64820.jpg)
则D1E∥FC,
∴∠FCA即为异面直线D1E与AC
所成角或其补角.
在△FCA中,AC=4
2,
AF=FC=2
5
∴cos∠FCA=
10
5
∴异面直线D1E与AC所成角的余弦值为
10
5.
(III)过点D作DG⊥D1E于点G,连接AG,由AD⊥面D1DCC1,
∴AD⊥D2E
又∵DG⊥D1E,∴D1E⊥面ADG
∴D1E⊥AG,则∠AGD为二面角A-D1E-C的平面角
∵D1E•DG=DD1•CD,∴DG=
8
5
5AG=
AD2+DG2=
12
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在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设E是棱CC1的中点,求 三棱锥A-B1DE的体积