搜狗做题网线性代数 为什么正交变换不改变两点间的距离
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/07 18:32:06
线性代数 为什么正交变换不改变两点间的距离
设有向量a和b 对应点A和点B 有正交变换P 有向量x和y
x=Pa y=Pb x对应点C,y对应点D
证明：为什么CD的距离仍然等于AB 另外,为什么∠AOB=∠COD （O为原点）
设有向量a和b 对应点A和点B 有正交变换P 有向量x和y
x=Pa y=Pb x对应点C,y对应点D
证明：为什么CD的距离仍然等于AB 另外,为什么∠AOB=∠COD （O为原点）
任何向量a在正交变换P后模长不变.
证明：
|a|^2=a'a ,（这里a'表示转置）
设 Pa=b
|b|^2=b'b=(Pa)'(Pa)=aP'Pa=a(P'P)a=a'a,(P'P=I,这是正交矩阵的定义)
所以,|a|=|b|.
再问： 一个向量的长度不变我是知道的 想了解的是 为什么两个向量的终点之间的距离在经过正交变化后也不变
再答： 向量 a-b 的模长就是两向量a,b间的距离 既然 一个向量在正交变换下长度不变，那么a-b的长度在变换后长度也不变。 |P(a-b)|=|Pa-Pb|=|a'-b'|=|a-b|
证明：
|a|^2=a'a ,（这里a'表示转置）
设 Pa=b
|b|^2=b'b=(Pa)'(Pa)=aP'Pa=a(P'P)a=a'a,(P'P=I,这是正交矩阵的定义)
所以,|a|=|b|.
再问： 一个向量的长度不变我是知道的 想了解的是 为什么两个向量的终点之间的距离在经过正交变化后也不变
再答： 向量 a-b 的模长就是两向量a,b间的距离 既然 一个向量在正交变换下长度不变，那么a-b的长度在变换后长度也不变。 |P(a-b)|=|Pa-Pb|=|a'-b'|=|a-b|
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