（2012•大连二模）已知函数f(x)＝a2x2−(a2+1)x+alnx(常数a∈R且a≠0)

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/04 14:41:14

（2012•大连二模）已知函数f(x)＝

（Ⅰ）f′(x)＝ax−(a2+1)+
a
x＝
ax2−(a2+1)x+a
x＝
(ax−1)(x−a)
x＝
a(x−
1
a)(x−a)
x
（1）当a＜0时，f'（x）＜0在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）递减；
（2）当a＞1时，f'（x）＜0解集为(
1
a，a)，f'（x）＞0解集为(0，
1
a)∪(a，+∞)，
∴f（x）在(
1
a，a)递减，在(0，
1
a)，(a，+∞)上递增；
（3）当0＜a＜1时，f'（x）＜0解集为(a，
1
a)，f'（x）＞0解集为(0，a)∪(
1
a，+∞)，
∴f（x）在(a，
1
a)递减，在(0，a)，(
1
a，+∞)上递增；
（4）当a=1时，f'（x）＞0解集为（0，1）∪（1，+∞），
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）上递增，且f（x）在x=1不间断，所以f（x）在（0，+∞）递增；…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，f(x)＝
x2
2−2x+lnx，
要比较
x1+x2
2与1的大小，只需比较x₂与2-x₁的大小..…（6分）
因为f(x2)−f(2−x1)＝−3−f(x1)−f(2−x1)＝−
x21+2x1−1−lnx1−ln(2−x1)
设F(x1)＝−
x21+2x1−1−lnx1−ln(2−x1)．…（8分）
则F′(x1)＝
2(x1−1)3
x1(2−x1)
当x₁∈（0，1）时，F'（x₁）＜0，F（x₁）为减函数，
当x₁∈（1，2）时，F'（x₁）＞0，F（x₁）为增函数，
所以F（x₁）≥F（1）=0…（10分）
所以f（x₂）≥f（2-x₁），又因为f（x）为增函数，
所以x₂≥2-x₁，所以

（2012•大连二模）已知函数f(x)＝a2x2−(a2+1)x+alnx(常数a∈R且a≠0) （文）已知函数f(x)＝a•2x+a2−22x−1(x∈R，x≠0)，其中a为常数，且a＜0．（2013•成都二模）已知函数f(x)＝x−1x，g(x)＝alnx，其中x＞0，a∈R，令函数h（x）=f（x）-g（（2012•汕头二模）已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R且a≠0．）．已知函数f(x)=x+alnx,其中a为常数,且a小于等于-1 已知函数f（x）=alnx-（x-1）²-ax（常数a∈R）.求函数f（x）的单调区间已知函数f（x）=x-alnx，g(x)＝−1+ax，(a∈R)．（2013•嘉兴二模）已知函数f(x)＝a2x2−2x+(a−4)lnx，a＞0．（2013•丰台区二模）已知函数 f(x)＝alnx−(a+1)x+12x2(a≥0)．已知函数f(x)＝13x3+1−a2x2−ax−a，x∈R其中a＞0．设函数f(x)＝1−a2x2+ax−lnx(a∈R)．