如图,已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/06 00:55:09

如图,已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,
如图,已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,当AC垂直于x轴时,恰好有|AF1|:|AF2|=3:1.
1)求离心率
2）设向量AF1=m向量F1B,向量AF2=n向量F2C,证明m+n恒=6.

(1)A为椭圆上的点,AC过其焦点F2,
则当AC⊥x轴时,A的坐标为A(c,b²/a) (c²=a²-b²,c>0)
则RT△F1F2A中|AF1|:|AF2|=3:1；故sin∠AF1F2=1/3,
则tan∠AF1F2=√2/4=|AF2|/|F1F2|=b²/a/(2c),且c²=a²-b²,c>0
故a/c-c/a=√2/2 ,解之：e=c/a=√2/2
(2)证明：由e=c/a=√2/2,知b²=a²/2 ；又F1(-√2a/2,0) ;F2(√2a/2,0) ；
则椭圆为x²/a²+2y²/a²=1 ；令A(acosk,√2asink/2) ；
则向量AF1=(-√2a/2-acosk,-√2asink/2);向量AF2=(√2a/2-acosk,-√2asink/2)；
由向量AF1=m向量F1B,向量AF2=n向量F2C ；知：
B((-√2a/2-acosk)/m-√2a/2,-√2asink/(2m))；
C((√2a/2-acosk)/n+√2a/2,-√2asink/(2n)) ；
又B、C在椭圆 x²/a²+2y²/a²=1上,则：
[(-√2a/2-acosk)/m-√2a/2]²/a²+2[-√2asink/(2m)]²/a²=1 ；
[(√2a/2-acosk)/n+√2a/2]²/a²+2[-√2asink/(2n)]²/a²=1 ；
化简得：(√2+2cosk+√2m)²+4sin²k=4m²；(√2-2cosk+√2n)²+4sin²k=4n²；
有3+2√2cosk+2m+2√2mcosk=m²；3-2√2cosk+2n-2√2ncosk=n²；
则：cosk=(m²-2m-3)/[2√2(1+m)]=(n²-2n-3)/[-2√2(1+n)] (m>0；n>0)
整理有：m-3=-(n-2),则：m+n=6 ；证毕.
终于弄完了,希望对你有所帮助!

如图,已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,当AC 如图,已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2, 设A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上的一动点弦AB,AC分别过焦点F1,F2当AC垂直于x轴时,恰好有已知A B C均在椭圆M:x^2/a^2+y^2=1(a>0)上直线AB AC分别过椭圆的左右焦点F1 F2 当向量A 如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,A为椭圆的上顶点,直线如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左右焦点,A为椭圆上顶点, 已知A,B,C均在椭圆M:x^2/a^2+y^2=1(a>1)上,直线AB,AC分别过椭圆的左右焦点F1,F2当, 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>c>0)的左右焦点分别为F1.F2,过椭圆上一点P作圆F2：（x-c 已知椭圆求x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点分别为f1,f2,若以f2为圆心,b-c为半径作园f2,过椭圆上一已知点p(x,y)在椭圆x2|2+y2|1=1的左右焦点分别为f1 f2 若过点p（0,-2）及f1的直线交椭圆与A B 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1焦点分别为F1,F2,椭圆上存在点p，使得csin 已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆C上,且向量AF1×