如图,已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,当AC
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/11 17:49:06
如图,已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,当AC垂直于x轴时,
如图,已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,当AC垂直于x轴时,恰好有|AF1|:|AF2|=3:1.
1)求离心率
2)设向量AF1=m向量F1B,向量AF2=n向量F2C,证明m+n恒=6。
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/86/686162de9b0ef2084c46f69014984985.jpg)
如图,已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,当AC垂直于x轴时,恰好有|AF1|:|AF2|=3:1.
1)求离心率
2)设向量AF1=m向量F1B,向量AF2=n向量F2C,证明m+n恒=6。
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/86/686162de9b0ef2084c46f69014984985.jpg)
![如图,已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,当AC](/uploads/image/z/6256523-11-3.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5A%E4%B8%BA%E6%A4%AD%E5%9C%86x%5E2%2Fa%5E2%2By%5E2%2Fb%5E2%3D1%28a%3Eb%3E0%29%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%8A%A8%E7%82%B9%2C%E5%BC%A6AB%E3%80%81AC%E5%88%86%E5%88%AB%E8%BF%87%E7%84%A6%E7%82%B9F1%E3%80%81F2%2C%E5%BD%93AC)
(Ⅰ)设|AF2|=m,则|AF2|=3m.
由题设及椭圆定义得,
(3m)^2-m^2=(2c)^2
3m+m=2a
消去m得:a^2=2c^2
所以离心率e=根号2/2
(Ⅱ) 由(1)知,b^2=c^2=a^2/2
所以椭圆方为 :
x^2+2y^2=2c^2
设 A(x0,y0) B(x1,y1) C(x2,y2)
则 x0^2+2y0^2=a^2
A为椭圆上异于长轴端点的任意一点,
则由已知条件得,
m=-y0/y1
n=-y0/y2
所以m+n=-y0*(1/y1+1/y2)
又直线AF1的方程为
x+c=(x0+c/y0)*y
又因为x0^2+2y0^2=a^2
联立得:
[2y0^2+x0+c]y^2-2cy0*(x0+c)y-c^2y0^2
(3c+2x0)y^2-2y0*(x0+c)y-cy0^2=0
∴.由韦达定理得y0y1=-cy0^2/3c+2x0
,所以.y1=-c*y0/3c+2x0
同理 y2=cy0/-3c+2x0
∴.m+n=-y0*(1/y1+1/y2)=6
综上证得,当A点为该椭圆上的一个动点时,为定值6.
由题设及椭圆定义得,
(3m)^2-m^2=(2c)^2
3m+m=2a
消去m得:a^2=2c^2
所以离心率e=根号2/2
(Ⅱ) 由(1)知,b^2=c^2=a^2/2
所以椭圆方为 :
x^2+2y^2=2c^2
设 A(x0,y0) B(x1,y1) C(x2,y2)
则 x0^2+2y0^2=a^2
A为椭圆上异于长轴端点的任意一点,
则由已知条件得,
m=-y0/y1
n=-y0/y2
所以m+n=-y0*(1/y1+1/y2)
又直线AF1的方程为
x+c=(x0+c/y0)*y
又因为x0^2+2y0^2=a^2
联立得:
[2y0^2+x0+c]y^2-2cy0*(x0+c)y-c^2y0^2
(3c+2x0)y^2-2y0*(x0+c)y-cy0^2=0
∴.由韦达定理得y0y1=-cy0^2/3c+2x0
,所以.y1=-c*y0/3c+2x0
同理 y2=cy0/-3c+2x0
∴.m+n=-y0*(1/y1+1/y2)=6
综上证得,当A点为该椭圆上的一个动点时,为定值6.
如图,已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,当AC
如图,已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,
设A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上的一动点弦AB,AC分别过焦点F1,F2当AC垂直于x轴时,恰好有
已知A B C均在椭圆M:x^2/a^2+y^2=1(a>0)上 直线AB AC分别过椭圆的左右焦点F1 F2 当向量A
已知A,B,C均在椭圆M:x^2/a^2+y^2=1(a>1)上,直线AB,AC分别过椭圆的左右焦点F1,F2当,
如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,A为椭圆的上顶点,直线
如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左右焦点,A为椭圆上顶点,
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>c>0)的左右焦点分别为F1.F2,过椭圆上一点P作圆F2:(x-c
已知椭圆求x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点分别为f1,f2,若以f2为圆心,b-c为半径作园f2,过椭圆上一
已知点p(x,y)在椭圆x2|2+y2|1=1的左右焦点分别为f1 f2 若过点p(0,-2)及f1的直线交椭圆与A B
已知ABC均在椭圆M:x^2/a^2+y^2=1(a>1)上,直线AB,AC分别是椭圆的左右焦点F1,F2,当向量
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1焦点分别为F1,F2,椭圆上存在点p,使得csin