（2013•宁德模拟）已知函数f1（x）=12x2，f2（x）=alnx（a∈R）•

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/23 08:22:56

（2013•宁德模拟）已知函数f₁（x）=

（I）f（x）=f₁（x）•f₂（x）=
1
2x²alnx，
∴f′（x）=axlnx+
1
2ax=
1
2ax（2lnx+1），（x＞0，a＞0），
由f′（x）＞0，得x＞e
1
2，由f′（x）＜0，得0＜x＜e
1
2．
∴函数f（x）在（0，e
1
2）上是增函数，在（e
1
2，+∞）上是减函数，
∴f（x）的极小值为f（e
1
2）=-
a
4e，无极大值．
（II）根据题意存在x₀∈[1，e]，使得f₁（x₀）+f₂（x₀）≤（a+1）x₀成立，
设g（x）=
1
2x²+alnx-（a+1）x，则g（x）_min≤0即可，
又g′（x）=x+
a
x-（a+1）=
(x−1)(x−a)
x，
①当a≤1时，由x∈[1，e]，g′（x）＞0，得g（x）在[1，e]上是增函数，
∴g（x）_min=g（1）=
1
2-（a+1）≤0，得-
1
2≤a≤1．
②当1＜a＜e时，由x∈[1，a]，g′（x）＜0，得g（x）在[1，a]上是减函数，
由x∈[a，e]，g′（x）＞0，得g（x）在[1，a]上是增函数，
∴g（x）_min=g（a）=-
1
2a²+alna-a=-
1
2a²-a（1-lna）≤0恒成立，得1＜a＜e．
③当a≥e时，由x∈[1，e]，g′（x）＜0，得g（x）在[1，e]上是减函数，
∴g（x）_min=g（e）=）=-
1
2e²+a-ae-e≤0，得a≥
e2−2e
2(e−1)，又
e2−2e
2(e−1)＜e，∴a≥e．
综上，实数a的取值范围a≥
1
2．
（III）问题等价于x²lnx＞
x2
ex−
3
4，
由（I）知，f

（2013•宁德模拟）已知函数f1（x）=12x2，f2（x）=alnx（a∈R）• 已知函数f（x）=12x2+alnx（a∈R）．已知函数f(x)=alnx+2/(x+1) (a∈R）已知函数f（x）=x2+alnx 已知函数f1（x）=e^|x-2a+1|,f2（x）=e^(|x-a|+1),x∈R,1≤a≤6 （2012•道里区三模）已知函数g（x）=x2-（2a+1）x+alnx 已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx．（2014•江苏模拟）已知函数f（x）=x3+x2-ax（a∈R）．已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．已知函数f（x）=x-alnx,g（x）=-1+a/x,a∈R,已知函数f（x）=x-alnx,g（x）=-1+a/x, （2009•惠州模拟）已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．（2013•成都二模）已知函数f(x)＝x−1x，g(x)＝alnx，其中x＞0，a∈R，令函数h（x）=f（x）-g（