在平面直角坐标系xoy中,动点P到两点(-√3,0),(√3,0)的距离之和等于4,设点P的轨迹为曲线C,

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/20 17:20:36

在平面直角坐标系xoy中,动点P到两点(-√3,0),(√3,0)的距离之和等于4,设点P的轨迹为曲线C,
直线l过点E（-1,0）且与曲线C交于A,B两点.
（1）求曲线C的轨迹方程
（2）是否存在三角形AOB的最大值,若存在,求出三角形AOB的面积,若不存在,说明理由.时间紧急,望快速作答,

(1)
根据题意C是椭圆
2a=4
a=2
c=√3
b=1
C:x²/4+y²=1
(2)
l不能与x轴重合,否则AOB不构成三角形
设l:ky=(x+1)
则x=ky-1
与椭圆方程联立
(k²+4)y²-2ky-3=0
由韦达定理得
y1+y2=2k/(k²+4)
y1y2=-3/(k²+4)
(y1-y2)²
=(y1+y2)²-4y1y1
=16(k²+3)/(k²+4)²
=16(k²+3)/[(k²+3)²+2(k²+3)+1]
=16/[(k²+3)+2+1/(k²+3)]
k²+3+1/(k²+3)是对勾函数,在k²+3=1时取最小值
但是由于k²+3≥3
所以(y1-y2)²
=16/[(k²+3)+2+1/(k²+3)]
≤16/[2+3+1/3]
=3
|y1-y2|≤√3
所以当l垂直于x轴时,面积最大,为1*√3/2=√3/2
如仍有疑惑,欢迎追问.祝：
再问： ��࣡��л��л��Ҫ��X��أ��Y=K��X+1)��Բ��̣��
再答： ��y��ȽϺã� ��Ϊ��OAB��ֳ��֦�OEA,��OEB֮�