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已知函数f(x)=x^2+bx+c,对任意αβ∈R都有f(sinα)≥0且f(2+cosβ)≤0

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/15 02:11:35
已知函数f(x)=x^2+bx+c,对任意αβ∈R都有f(sinα)≥0且f(2+cosβ)≤0
求证c≥3
已知函数f(x)=x^2+bx+c,对任意αβ∈R都有f(sinα)≥0且f(2+cosβ)≤0
-1≤sinα≤1,即f(x)在[-1,1]上大于0
1≤2+cosβ≤3,即f(x)在[1,3]上小于0
f(x)开口向上,则f(x)=0有一个根为x=1,且对称轴大于等于2
设f(x)的两根式为f(x)=(x+p)(x-1)
展开得f(x)=x²+(p-1)x-p
配方得f(x)=[x+(p-1)/2]²-p-(p-1)²/4
对称轴-(p-1)/2≥2得p≤3
对照原解析式有c=-p
则c≥3
证毕