勾股定理难题,急!已知等边三角形ABC,P为△ABC外一点,连接PA,PB,PC.(1)若∠BPC=120°,求证:PB
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/06 02:11:44
勾股定理难题,急!
已知等边三角形ABC,P为△ABC外一点,连接PA,PB,PC.
(1)若∠BPC=120°,求证:PB+PC=PA
(2)若P为△ABC内一点,∠BPC=150°,请猜想PA,PB与PC之间数量关系,并证明你的猜想?
(3)在(2)的条件下,若PA=5,S△BPC=3,PC>PB,求S△ABC.
已知等边三角形ABC,P为△ABC外一点,连接PA,PB,PC.
(1)若∠BPC=120°,求证:PB+PC=PA
(2)若P为△ABC内一点,∠BPC=150°,请猜想PA,PB与PC之间数量关系,并证明你的猜想?
(3)在(2)的条件下,若PA=5,S△BPC=3,PC>PB,求S△ABC.
(1)
延长BP到D,使得PD=PC
因为∠BPC=120°,所以∠CPD=60°
所以△PCD是等边三角形
∠ACP=∠BCP+60°
∠BCD=∠BCP+60°
所以∠ACP=∠BCD
又AC=BC,CP=CD
所以△ACP全等于△BCD
所以PA=BD=BP+PD=PB+PC
即PB+PC=PA
(2)
则∠PCB=180°-150°-∠PBC=30°-∠PBC
∠ABP=60°-∠PBC
∠ACP=60°-(30°-∠PBC)=∠PBC+30°
所以∠ABP+∠ACP=90°
沿着点A顺时针旋转60°使PA到DA,则△PAD为等边三角形,
所以PA=PD=DA,
∠DAB=60°-∠DAP
∠PAC=60°-∠DAP
所以∠DAB=∠PAC
又因为DA=PA,AB=AC
所以△DAB全等于△PAC
所以BD=PC,∠ABD=∠ACP
又∠ABP+∠ACP=90°
所以∠ABP+∠ABD=90°
所以∠PBD=90°
所以PD^2=PB^2+BD^2
因为PD=PA,BD=PC
所以PA^2=PB^2+PC^2
(3)
S△BPC=1/2 * sin∠BPC * PB*PC=PB*PC/4=3
PB*PC=12
又PB^2+PC^2=PA^2=25
又PC>PB
解方程得PB=3,PC=4
S△ABC=1/2 * 根号3/2 * BC^2 = 根号3/4 * BC^2
BC^2=PB^2+PC^2-2*cos∠BPC*PB*PC=3^2+4^2+根号3 * 3*4=25+12根号3
所以S△ABC=根号3/4 * (25+12根号3) = 9 + 25根号3 / 4
延长BP到D,使得PD=PC
因为∠BPC=120°,所以∠CPD=60°
所以△PCD是等边三角形
∠ACP=∠BCP+60°
∠BCD=∠BCP+60°
所以∠ACP=∠BCD
又AC=BC,CP=CD
所以△ACP全等于△BCD
所以PA=BD=BP+PD=PB+PC
即PB+PC=PA
(2)
则∠PCB=180°-150°-∠PBC=30°-∠PBC
∠ABP=60°-∠PBC
∠ACP=60°-(30°-∠PBC)=∠PBC+30°
所以∠ABP+∠ACP=90°
沿着点A顺时针旋转60°使PA到DA,则△PAD为等边三角形,
所以PA=PD=DA,
∠DAB=60°-∠DAP
∠PAC=60°-∠DAP
所以∠DAB=∠PAC
又因为DA=PA,AB=AC
所以△DAB全等于△PAC
所以BD=PC,∠ABD=∠ACP
又∠ABP+∠ACP=90°
所以∠ABP+∠ABD=90°
所以∠PBD=90°
所以PD^2=PB^2+BD^2
因为PD=PA,BD=PC
所以PA^2=PB^2+PC^2
(3)
S△BPC=1/2 * sin∠BPC * PB*PC=PB*PC/4=3
PB*PC=12
又PB^2+PC^2=PA^2=25
又PC>PB
解方程得PB=3,PC=4
S△ABC=1/2 * 根号3/2 * BC^2 = 根号3/4 * BC^2
BC^2=PB^2+PC^2-2*cos∠BPC*PB*PC=3^2+4^2+根号3 * 3*4=25+12根号3
所以S△ABC=根号3/4 * (25+12根号3) = 9 + 25根号3 / 4
勾股定理难题,急!已知等边三角形ABC,P为△ABC外一点,连接PA,PB,PC.(1)若∠BPC=120°,求证:PB
已知等边三角形ABC,P为△ABC外一点,∠BPC=120°,连接PA,PB,PC(1)求证:PB+PC=PA;
在等边三角形ABC中,P为等边△ABC外一点,当PB=PC且∠BPC=120°时,点P的位置如图1,易证PB+PC=PA
如图,三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,P为△ABC外 一点,连接PA,PB,PC,(1)求证∠BPC+∠B
如图所示,若P点为等边三角形ABC内一点,∠BPC=150°,求证PA²+PB²=PC²
(1)如图1说是,弱P为等边三角形ABC内一点,∠BPC=150°,求证;PA²+PB²=PC
如图,P为等边三角形ABC内任意一点,连接PA,PB,PC,求证:(1)PA+PB+PC>二分之三倍的AB;
△ABC为等边三角形 P为三角形外任意一点,求证PA≤PB+PC
已知等边三角形ABC内一点P,PA=5,PB=3,PC=4,求∠BPC的度数
如图,已知三角形ABC是等边三角形,P是三角形内一点,∠BPC=150°,PB=2,PC=1,求PA的长
等边三角形ABC,P为三角形ABC外一点,连接PA,PB,PC
点P是边长为1的等边三角形ABC内任意一点,连接PA、PB、PC,求证:√3≤PA+PB+PC<2