搜狗做题网已知定义在R上函数f(x)的图象关于点(-3/4,0)对称,且满足f(x)=-f(x+3/2).f(-1)=1.f(0)
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/20 07:21:19
已知定义在R上函数f(x)的图象关于点(-3/4,0)对称,且满足f(x)=-f(x+3/2).f(-1)=1.f(0)=-2,则
f(1)+f(2)+...+f(100)=
f(1)+f(2)+...+f(100)=
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此题考查函数的周期性和奇偶性.
∵f(x)=-f(x+3/2),所以可判断函数是周期函数,且最小正周期为2*3/2=3
(公式：f(x+a)=-f(x+b),则最小正周期为2*|b-a|)
又f(x)的图象关于点(-3/4,0)对称,即f(x-3/4)的图像关于原点对称,
即f(x-3/4)是奇函数.
∴f(-x-3/4)=-f(x-3/4),取x=3/4,则f(-3/2)=-f(0)=2,且f(3)=f(0)=-2
取x=1/4,则f(-1)=-f(-1/2),则f(-1/2)=-f(-1)=-1
根据f(x)=-f(x+3/2),f(-1/2)=-f(1),故f(1)=-f(-1/2)=1,而f(2)=f(-1)=1
f(1)+f(2)+...+f(100)=33*(f(1)+f(2)+f(3))+f(1)
=33*(1+1+(-2))+1=1
此题考查函数的周期性和奇偶性.
∵f(x)=-f(x+3/2),所以可判断函数是周期函数,且最小正周期为2*3/2=3
(公式：f(x+a)=-f(x+b),则最小正周期为2*|b-a|)
又f(x)的图象关于点(-3/4,0)对称,即f(x-3/4)的图像关于原点对称,
即f(x-3/4)是奇函数.
∴f(-x-3/4)=-f(x-3/4),取x=3/4,则f(-3/2)=-f(0)=2,且f(3)=f(0)=-2
取x=1/4,则f(-1)=-f(-1/2),则f(-1/2)=-f(-1)=-1
根据f(x)=-f(x+3/2),f(-1/2)=-f(1),故f(1)=-f(-1/2)=1,而f(2)=f(-1)=1
f(1)+f(2)+...+f(100)=33*(f(1)+f(2)+f(3))+f(1)
=33*(1+1+(-2))+1=1
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