搜狗做题网已知定义在R上函数f(x)的图象关于点(-3/4,0)对称,且满足f(x)=-f(x+3/2).f(-1)=1.f(o)
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/20 05:47:39
已知定义在R上函数f(x)的图象关于点(-3/4,0)对称,且满足f(x)=-f(x+3/2).f(-1)=1.f(o)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2008)的值为()
A.-2
B.-1
C.0
D.1
A.-2
B.-1
C.0
D.1
f(x)=-f(x+3/2)
把x换为x+3/2,代入得f(x+3/2)=-f(x+3)
那么知f(x)=f(x+3)
它是周期为3的函数
f(-1)=1=f(2)=f(5)=..
f(0)=-2=f(3)=.
注意到奇函数关于(0,0)对称,有f(-x)=-f(x)
而此函数关于(-3/4,0)对称,有f(-x-3/2)=-f(x)
而f(x)=-f(x+3/2),得f(-x-3/2)=-f(x)=f(x+3/2)
就是f(t)=f(-t),偶函数
所以得f(-1)=1=f(1)
那么f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2008)=669[f(1)+f(2)+f(3)]+f(1)=0+1=1
答案是1
把x换为x+3/2,代入得f(x+3/2)=-f(x+3)
那么知f(x)=f(x+3)
它是周期为3的函数
f(-1)=1=f(2)=f(5)=..
f(0)=-2=f(3)=.
注意到奇函数关于(0,0)对称,有f(-x)=-f(x)
而此函数关于(-3/4,0)对称,有f(-x-3/2)=-f(x)
而f(x)=-f(x+3/2),得f(-x-3/2)=-f(x)=f(x+3/2)
就是f(t)=f(-t),偶函数
所以得f(-1)=1=f(1)
那么f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2008)=669[f(1)+f(2)+f(3)]+f(1)=0+1=1
答案是1
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