为什么罗尔定理拉格郎日和柯西,甚至是判断函数的单调性和凹凸性的前提都是在闭区间连续开区间可导

为什么罗尔定理拉格郎日和柯西,甚至是判断函数的单调性和凹凸性的前提都是在闭区间连续开区间可导
请大家多举例子,正例和反例,如果可以的话还有图形解释.

简单的回应一下你问题的要求,但是：
1、以下没有图形解释,只有函数,自己画,都是简单函数!
2、正例不举了,这三个定理及其相关推论在基本函数的图像中都一目了然,自己随便写个函数,画坐标图看看即可.
3、正向推导中这些条件的必要性到可以说说,用来解释你的“为什么”.
4、给你点反例.
关于罗尔定理：
首先理一下该定理证明的思路：
连续且闭=>有最大最小=>存在x1使f(x1)=max=>f'x1=0
其中
前两步推导就是最大值最小值定理
或称
维尔斯特拉斯极值定理
其前提条件“连续且闭”不可或缺
后一步推导就是费马定理
其前提条件“x处可导”不可或缺
因此
罗尔定理的应用条件：闭连续+开可导
反例：
1、(a,b)可导,f(a)=f(b),则必存在x使得f'(x)=0
错!
反例：f(x)=x(0,1];=1(x=0)
这表明两端处连续性不可或缺!
2、f(x)=x[0,0.5];=1-x(0.5,1],所以存在f'(x)=0
错!
最大值f(0.5)处没有导数!
这表明可导性不可或缺!
关于拉格朗日定理：
还是先理一下证明思路：
引进辅助函数g(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}*(x-a)
把函数图形做一个线性量上下移动后
即可将罗氏定理中结论用上.
因此拉氏是罗氏的变形,其应用前提一样
反例：
1、(a,b)可导,则存在x使f'(x)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
错!
反例：f(x)=x(0,1];=1(x=0)
这表明两端连续不可或缺
2、[a,b]连续,则存在x使得f'(x)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
错!
反例：f(x)=|x|[0,1]
这表明可导性不可或缺
3、f(x)=1/x(x不等于0)；=0（x=0）
不能应用拉氏定理
因为x=0为间断点
严格地说是：
结论未必能够成立（事实上不成立）
关于柯西中值定理：
先提醒一点：不能直接由拉氏作商或作差推出柯氏!
理一下定理推倒的思路
引入h(x)=f(x)-[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]*[g(x)-g(a)]作为辅助函数
=>
存在有h'(x)=0
=>
展开即可
可见基本同拉氏（拉氏是柯氏的特殊情况）
反例类似（略）
单调性是拉氏定理的倒推,所以需要这两个条件
凹凸性的充分性证明中用到的微分中值公式和拉氏差不多,所以也需要.
注：
凹凸性证明中,一般用一介导判据的增减性或二介导的正负性判断,这些判据的前提条件中没有“闭连续”,其实是一样的,因为可导必然连续（但有开闭之分）.
注：
对于类似|x|和x^2+|x|等不可导的函数,但并不意味着无法判断,因为导数判据是其结论的充分条件,因此只能用凹凸性的定义证明,而且前者最终的结论是非严格凹性（因为有等号成立）.
但其实一般应用中都是可导的简单函数,最多出现二介导不存在或零点的情况,分段即可.
注：
除了和拉氏、罗氏相同的两个条件外,
柯氏中还有一个前提条件:“分母导数”不为零