“正方形ABCD,M为对角线BD上的动点,当M移到什么位置时,AM+BM+CM的值最小”M为BD中点么
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 10:37:51
“正方形ABCD,M为对角线BD上的动点,当M移到什么位置时,AM+BM+CM的值最小”M为BD中点么
除了用导数还有别的办法么(初中水平)Tanks!
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令正方形ABCD的对角线交点为E.不失一般性地设AB=a,ME=x.易知:BM=√2a/2-x.
由勾股定理,有:AM=√(AE^2+ME^2)=√[(√2a/2)^2+x^2].
由对称图形的性质,得:CM=AM.
设y=AM+BM+CM=2√[(√2a/2)^2+x^2]+√2a/2-x
∴x+y-√2a/2=2√[(√2a)^2+x^2]
两边平方,得:x^2+y^2+a^2/2+2xy-√2ax-√2ay=4[(√2a/2)^2+x^2]
∴3x^2+(√2a-2y)x+3a^2/2+√2ay-y^2=0
将这个等式看成是关于x的一元二次方程,要确保x为实数,必需要它的判别式不小于0,
即:(√2a-2y)^2-4×3(3a^2/2+√2ay-y^2)≥0
∴2a^2-4√2ay+4y^2-18a^2-12√2ay+12y^2≥0
∴y^2-√2ay-a^2≥0,∴(y-√2a/2)^2≥3a^2/2
∴y-√2a/2≥√6a/2,或y-√2a/2≤-√6a/2
∴y≥√2a/2+√6a/2,或y≤√2a/2-√6a/2
y显然是大于0的,∴y≥√2a/2+√6a/2,即y的最小值是√2a/2+√6a/2.
当y取最小值时,就有:2√[(√2a/2)^2+x^2]+√2a/2-x=√2a/2+√6a/2
∴2√[(√2a/2)^2+x^2]=x+√6a/2
两边平方,得:4[(√2a/2)^2+x^2]=x^2+√6ax+3a^2/2
∴3x^2-√6ax+a^2/2=0,∴6x^2-2√6ax+a^2=0,∴(√6x-a)^2=0,∴√6x=a
∴x=√6a/6.
∴此时有:BM=BE-ME=√2a/2-x=(3√2-√6)a/6.
即:当BM的距离为正方形边长的(3√2-√6)/6时,AM+BM+CM最小.
由勾股定理,有:AM=√(AE^2+ME^2)=√[(√2a/2)^2+x^2].
由对称图形的性质,得:CM=AM.
设y=AM+BM+CM=2√[(√2a/2)^2+x^2]+√2a/2-x
∴x+y-√2a/2=2√[(√2a)^2+x^2]
两边平方,得:x^2+y^2+a^2/2+2xy-√2ax-√2ay=4[(√2a/2)^2+x^2]
∴3x^2+(√2a-2y)x+3a^2/2+√2ay-y^2=0
将这个等式看成是关于x的一元二次方程,要确保x为实数,必需要它的判别式不小于0,
即:(√2a-2y)^2-4×3(3a^2/2+√2ay-y^2)≥0
∴2a^2-4√2ay+4y^2-18a^2-12√2ay+12y^2≥0
∴y^2-√2ay-a^2≥0,∴(y-√2a/2)^2≥3a^2/2
∴y-√2a/2≥√6a/2,或y-√2a/2≤-√6a/2
∴y≥√2a/2+√6a/2,或y≤√2a/2-√6a/2
y显然是大于0的,∴y≥√2a/2+√6a/2,即y的最小值是√2a/2+√6a/2.
当y取最小值时,就有:2√[(√2a/2)^2+x^2]+√2a/2-x=√2a/2+√6a/2
∴2√[(√2a/2)^2+x^2]=x+√6a/2
两边平方,得:4[(√2a/2)^2+x^2]=x^2+√6ax+3a^2/2
∴3x^2-√6ax+a^2/2=0,∴6x^2-2√6ax+a^2=0,∴(√6x-a)^2=0,∴√6x=a
∴x=√6a/6.
∴此时有:BM=BE-ME=√2a/2-x=(3√2-√6)a/6.
即:当BM的距离为正方形边长的(3√2-√6)/6时,AM+BM+CM最小.
“正方形ABCD,M为对角线BD上的动点,当M移到什么位置时,AM+BM+CM的值最小”M为BD中点么
正方形ABCD,M为对角线BD上的动点,当M移到什么位置时,AM+BM+CM的值最小
初三几何数学在正方形ABCD中,点M是对角线BD上(不含B点)任意一点,当M在何处时AM+BM+CM的值最小,说明理由
菱形ABCD边长为4,角A为120度,求做对角线BD上一点M的位置,使AM,BM,CM和最小,最小值?要写大致思路过程
1、已知正方形ABCD,M是BC边的中点CM=BM=2,P是BD上的动点,则PM+PC的最小值=?
在正方形ABCD中,其对角线AC、BD交于点O,点P为AB边上的动点PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,M为AD中点,连接O
如图所示,正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点M、N分别为OB、OC的中点,则cos∠OMN的值为( )
已知正方形abcd边长等于8cm,那么边ab的中点M当对角线bd的距离等于?
已知:ABCD是平行四边形,对角线AC和BD相交于点O,M,N分别为OA.OC的中点,问BM与DN相
已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.E是AC上的一点,连结EB,过点A作AM垂直BE,垂足为M,AM交BD于
正方形ABCD的边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,且始终保持AM⊥MN.当BM为多少时,四边形ABCN的面积
已知正方形ABCD,M为BD上一点,且BM=BC,P为CM上一点,且PE上BD,PE上BC,若正方形的边长为4求PE+P