三角函数不等式题

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/10 03:46:52

三角函数不等式题

由A+B+C = π,C/2 = π/2-(A/2+B/2).
tan(C/2) = 1/tan(A/2+B/2) = (1-tan(A/2)·tan(B/2))/(tan(A/2)+tan(B/2)).
乘开即得等式tan(A/2)·tan(B/2)+tan(B/2)·tan(C/2)+tan(C/2)·tan(A/2) = 1.
由不等式x²+y²+z² ≥ xy+yz+zx对任意实数x,y,z成立(可展开(x-y)²+(y-z)²+(z-x)² ≥ 0证明).
取x = tan(A/2),y = tan(B/2),z = tan(C/2)即得:
tan²(A/2)+tan²(B/2)+tan²(C/2) ≥ tan(A/2)·tan(B/2)+tan(B/2)·tan(C/2)+tan(C/2)·tan(A/2) = 1.

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