设函数f(x)=lnx-px+1(1)求函数f(x)的极值点(2)当p大于 0,若对任意的x大于0恒有f(x)小于等于n
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/17 08:34:49
设函数f(x)=lnx-px+1(1)求函数f(x)的极值点(2)当p大于 0,若对任意的x大于0恒有f(x)小于等于n求p的取值范
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(1)f(x)=lnx-px+1 .x>0,p>0
---->f'(x) = 1/x-p = (p/x)(1/p-x)
--->x>1/p时,f'(x)<0,f(x)单调减;
0<x<1/p时,f'(x)>0,f(x)单调增;
x = 1/p时,f'(x)=0--->f(x)有极大值f(1/p)=-lnp
恒有f(x)≤0,必须极大值f(1/p)=-lnp≤0--->p≥1
(2)令p=1,∵n≥2,由(1),恒有f(n²)≤0
即:ln(n²)-n²+1≤0--->ln(n²)≤n²-1<n²--->ln(n²)/n²≤1
--->ln2²/2²+ln3²/3²+...+lnn²/n<n-1 =(2n²-2)/[2(n+1)]
<(2n²-n-1)/[2(n+1)]
---->f'(x) = 1/x-p = (p/x)(1/p-x)
--->x>1/p时,f'(x)<0,f(x)单调减;
0<x<1/p时,f'(x)>0,f(x)单调增;
x = 1/p时,f'(x)=0--->f(x)有极大值f(1/p)=-lnp
恒有f(x)≤0,必须极大值f(1/p)=-lnp≤0--->p≥1
(2)令p=1,∵n≥2,由(1),恒有f(n²)≤0
即:ln(n²)-n²+1≤0--->ln(n²)≤n²-1<n²--->ln(n²)/n²≤1
--->ln2²/2²+ln3²/3²+...+lnn²/n<n-1 =(2n²-2)/[2(n+1)]
<(2n²-n-1)/[2(n+1)]
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