f(x)=∫(0到x)e的-t^2次方dt 展开成麦克劳林级数
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/17 01:48:09
f(x)=∫(0到x)e的-t^2次方dt 展开成麦克劳林级数
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f(x)=∫(0到x)e的-t^2次方dt
则一阶导数:e^(-x^2).
二阶导数:-2xe^(-x^2)
三阶导数:-2e^(-x^2)+4x^2e^(-x^2)
四阶导数:-4xe^(-x^2)+8xe^(-x^2)-8x^3e^(-x^2)
.
显然,
f(0)=0
f'(0)=1
f''(0)=0
f'''(0)=-2
则当n为奇数时,f^(n)(0)=(-1)^(n-1)*2^(n-1)
当n为偶数时,f^(n)(0)=0
而迈克劳林级数为:
f(x)=f(0)+f'(0)x+1/2!f''(0)x^2+...+1/n!f^(n)(0)x^n
所以,
f(x)=∫(0到x)e的-t^2dx=
0+x-2x^2+4x^3-...+(-1)^n*2^(n-1)x^n+.
=x-2x^2+4x^3-...+(-1)^n*2^(n-1)x^n+.
则一阶导数:e^(-x^2).
二阶导数:-2xe^(-x^2)
三阶导数:-2e^(-x^2)+4x^2e^(-x^2)
四阶导数:-4xe^(-x^2)+8xe^(-x^2)-8x^3e^(-x^2)
.
显然,
f(0)=0
f'(0)=1
f''(0)=0
f'''(0)=-2
则当n为奇数时,f^(n)(0)=(-1)^(n-1)*2^(n-1)
当n为偶数时,f^(n)(0)=0
而迈克劳林级数为:
f(x)=f(0)+f'(0)x+1/2!f''(0)x^2+...+1/n!f^(n)(0)x^n
所以,
f(x)=∫(0到x)e的-t^2dx=
0+x-2x^2+4x^3-...+(-1)^n*2^(n-1)x^n+.
=x-2x^2+4x^3-...+(-1)^n*2^(n-1)x^n+.