y=ln(x+a)+x^2若y有极值,求a的范围,并证明所有极值和大于ln(e/2)
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/06 21:03:24
y=ln(x+a)+x^2若y有极值,求a的范围,并证明所有极值和大于ln(e/2)
![y=ln(x+a)+x^2若y有极值,求a的范围,并证明所有极值和大于ln(e/2)](/uploads/image/z/8491201-25-1.jpg?t=y%3Dln%28x%2Ba%29%2Bx%5E2%E8%8B%A5y%E6%9C%89%E6%9E%81%E5%80%BC%2C%E6%B1%82a%E7%9A%84%E8%8C%83%E5%9B%B4%2C%E5%B9%B6%E8%AF%81%E6%98%8E%E6%89%80%E6%9C%89%E6%9E%81%E5%80%BC%E5%92%8C%E5%A4%A7%E4%BA%8Eln%28e%2F2%29)
对f(x)=ln(x+a)+x^2求导得:
f'(x)=1/(x+a)+2x
令f'(x)=0 化简得到关于x的方程x^2+ax+1/2=0 [*].当方程有解时,设它的两个根是p,q,由根与系数关系:p+q=-a,pq=(1/2)
要使方程有解必须使a^2-4*1*(1/2)>=0
即|a|>=根号2;
还要使x+a=-1/(2x)>0(使对数式有意义),所以方程至少有一个负根,而由pq=1/2知道两根同号,由p+q=-a知道a必须是正数
所以a的取值范围是a>=根号2.
若a=根号2,方程[*]只有一个根(是重根)p=q=(根号2)/2,此时极值之和为f((根号2)/2)=(1/2)ln(e/2)根号2时,p不等于q,极值之和
f(p)+f(q)
=ln(p+a)+p^2+ln(q+a)+q^2
=ln[(p+a)(q+a)]+p^2+q^2
=ln[pq+a(p+q)+a^2]+(p+q)^2-2pq
=ln[(1/2)+a(-a)+a^2]+(-a)^2-2*(1/2)
=ln(1/2)+a^2-1
>ln(1/2)+2-1=ln(e/2)
f'(x)=1/(x+a)+2x
令f'(x)=0 化简得到关于x的方程x^2+ax+1/2=0 [*].当方程有解时,设它的两个根是p,q,由根与系数关系:p+q=-a,pq=(1/2)
要使方程有解必须使a^2-4*1*(1/2)>=0
即|a|>=根号2;
还要使x+a=-1/(2x)>0(使对数式有意义),所以方程至少有一个负根,而由pq=1/2知道两根同号,由p+q=-a知道a必须是正数
所以a的取值范围是a>=根号2.
若a=根号2,方程[*]只有一个根(是重根)p=q=(根号2)/2,此时极值之和为f((根号2)/2)=(1/2)ln(e/2)根号2时,p不等于q,极值之和
f(p)+f(q)
=ln(p+a)+p^2+ln(q+a)+q^2
=ln[(p+a)(q+a)]+p^2+q^2
=ln[pq+a(p+q)+a^2]+(p+q)^2-2pq
=ln[(1/2)+a(-a)+a^2]+(-a)^2-2*(1/2)
=ln(1/2)+a^2-1
>ln(1/2)+2-1=ln(e/2)
y=ln(x+a)+x^2若y有极值,求a的范围,并证明所有极值和大于ln(e/2)
求函数y=ln(2+x^2)的单调区间,极值,凹向和拐点.
求函数y=x-ln(1+x)的极值.
1求函数y=x-ln(1+x)在定义域内的极值 2证明不等式:当X>0时,x>ln(1+x)
求函数y=ln(x平方+1)的极值
求函数y=2x-ln(1+x)的极值
设a属于R,若函数y=e的ax次方+3x (x属于R),有大于0的极值点,求a的范围
设a∈R,若函数Y=e∧(ax)+3x,x∈R有大于零的极值点,求a的范围
设a∈R,若函数y=e∧ax+3x,x∈R有大于零的极值点求a的取值范围
若a为实数,若函数y=e^ax+3x,x∈R有大于零的极值点,求a取值范围
设a∈R,若函数y=e^ax +3x,x∈R有大于零的极值点,求a取值范围?(详解)
求函数y=x-ln(1+x)的极值点,极值