设a≥0,f(x)=x-1-ln2x+2alnx(x>0).
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/09 04:43:04
设a≥0,f(x)=x-1-ln2x+2alnx(x>0).
(Ⅰ)令F(x)=xf′(x),讨论F(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值;
(Ⅱ)求证:当x>1时,恒有x>ln2x-2alnx+1.
(Ⅰ)令F(x)=xf′(x),讨论F(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值;
(Ⅱ)求证:当x>1时,恒有x>ln2x-2alnx+1.
(Ⅰ)根据求导法则有f′(x)=1−
2lnx
x+
2a
x,x>0,
故F(x)=xf'(x)=x-2lnx+2a,x>0,
于是F′(x)=1−
2
x=
x−2
x,x>0,
∴知F(x)在(0,2)内是减函数,在(2,+∞)内是增函数,
所以,在x=2处取得极小值F(2)=2-2ln2+2a.
(Ⅱ)证明:由a≥0知,F(x)的极小值F(2)=2-2ln2+2a>0.
于是知,对一切x∈(0,+∞),恒有F(x)=xf'(x)>0.
从而当x>0时,恒有f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)内单调增加.
所以当x>1时,f(x)>f(1)=0,即x-1-ln2x+2alnx>0.
故当x>1时,恒有x>ln2x-2alnx+1.
2lnx
x+
2a
x,x>0,
故F(x)=xf'(x)=x-2lnx+2a,x>0,
于是F′(x)=1−
2
x=
x−2
x,x>0,
∴知F(x)在(0,2)内是减函数,在(2,+∞)内是增函数,
所以,在x=2处取得极小值F(2)=2-2ln2+2a.
(Ⅱ)证明:由a≥0知,F(x)的极小值F(2)=2-2ln2+2a>0.
于是知,对一切x∈(0,+∞),恒有F(x)=xf'(x)>0.
从而当x>0时,恒有f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)内单调增加.
所以当x>1时,f(x)>f(1)=0,即x-1-ln2x+2alnx>0.
故当x>1时,恒有x>ln2x-2alnx+1.
设a≥0,f(x)=x-1-ln2x+2alnx(x>0).
设常数a大于0,函数f(x)=x-ln2x+2alnx-1,求证当x大于1时恒有x大于ln2x-2alnx+1
设a≥0,f(x)=x-1-(lnx)^2+2alnx(x>0) 求证:当x>1时,恒有x>(lnx)^2-2alnx+
已知函数f(x)=alnx+1/2x^2-(a+1)x (x>0) a为实数
设函数f(x)=x-x^2+alnx,此曲线在p(1,0)处的切线斜率为2 求a的值
已知函数f(x)=x-2/x+1-alnx,a>0
已知函数f(x)=x的平方-3x+alnx(a>0).
设函数f(x)=x-1/x-alnx(a∈R).讨论函数f(x)的单调性
设函数f(x)=(1/3)mx³+(4+m)x²,g(x)=alnx,其中a≠0
设常数a>=0,函数f(x)=x-lnx^2+2alnx-1(x属于0,正无穷)求证:当x>1时恒有x>lnx^2-2a
已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.
设a>0,已知函数f(x)=﹙1-a²﹚x+1/x+2alnx,其中x>0