求数学高手解答!!!怎么证明两个有限集的单射是双射?
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/14 15:24:01
求数学高手解答!!!怎么证明两个有限集的单射是双射?
原题是这样的
设f为一个从群{G,*}到群{H,@}的同态映射。
求证当且仅当Ker(f)={eH}时,也就是核元素集仅含有恒等元素时,群{G,*}到群{H,@}为同构映射。
我从左边推导出G到H是单射,从右边推导出G到H是双射。但问题是如果|H|>|G|,G到H不一定是满射。书里给的答案很不清楚,说因为G和H都是有限集,所以单射等价于满射。是这样的吗?求高手解答!
原题是这样的
设f为一个从群{G,*}到群{H,@}的同态映射。
求证当且仅当Ker(f)={eH}时,也就是核元素集仅含有恒等元素时,群{G,*}到群{H,@}为同构映射。
我从左边推导出G到H是单射,从右边推导出G到H是双射。但问题是如果|H|>|G|,G到H不一定是满射。书里给的答案很不清楚,说因为G和H都是有限集,所以单射等价于满射。是这样的吗?求高手解答!
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当同态的核只有e时,只能推出单射,不能推出满射,你的想法是正确的。例如随便找一个有限阶群G,它的真子群为G',则G'到G有一个嵌入i,但不是同构。
书上内容你是不是看错了,比如他说,G到f(G)的同态,那么这个同态是同构
再问: 对,你说的就是我的疑问,也就是说只要反证出单射不能推满射就行了吧?
再问: 很有可能是书出错了,毕竟两个有限集还是无法限定集合的相对大小。
再问: 书上写的是G和H,两个独立的集合。
书上内容你是不是看错了,比如他说,G到f(G)的同态,那么这个同态是同构
再问: 对,你说的就是我的疑问,也就是说只要反证出单射不能推满射就行了吧?
再问: 很有可能是书出错了,毕竟两个有限集还是无法限定集合的相对大小。
再问: 书上写的是G和H,两个独立的集合。