(2010•扬州二模)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/17 13:23:02
(2010•扬州二模)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连接CE并延长交AD于F.
(1)求证:△AEF≌△BEC;
(2)判断四边形BCFD是何特殊四边形,并说出理由;
(3)如图2,将四边形ACBD折叠,使D与C重合,HK为折痕,求tan∠ACH的值.
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/83/f83cde96f1aebbe485ebf418d970e48a.jpg)
(1)求证:△AEF≌△BEC;
(2)判断四边形BCFD是何特殊四边形,并说出理由;
(3)如图2,将四边形ACBD折叠,使D与C重合,HK为折痕,求tan∠ACH的值.
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/83/f83cde96f1aebbe485ebf418d970e48a.jpg)
![(2010•扬州二模)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连](/uploads/image/z/8261030-38-0.jpg?t=%EF%BC%882010%E2%80%A2%E6%89%AC%E5%B7%9E%E4%BA%8C%E6%A8%A1%EF%BC%89%E5%A6%82%E5%9B%BE1%EF%BC%8C%E5%9C%A8%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%EF%BC%8C%E2%88%A0ACB%3D90%C2%B0%EF%BC%8C%E2%88%A0CAB%3D30%C2%B0%EF%BC%8C%E2%96%B3ABD%E6%98%AF%E7%AD%89%E8%BE%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%EF%BC%8CE%E6%98%AFAB%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%EF%BC%8C%E8%BF%9E)
(1)证明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,
∴∠ABC=60°.
在等边△ABD中,∠BAD=60°,
∴∠BAD=∠ABC=60°.
∵E为AB的中点,
∴AE=BE,
在△AEF和△BEC中
∠FAE=∠CBE
AE=BE
∠AEF=∠CEB,
∴△AEF≌△BEC(ASA).
(2)四边形BCFD是平行四边形,
理由是:在△ABC中,∠ACB=90°,E为AB的中点,
∴CE=
1
2AB,BE=
1
2AB,
∴∠BCE=∠EBC=60°.
又∵△AEF≌△BEC,
∴∠AFE=∠BCE=60°.
又∵∠D=60°,
∴∠AFE=∠D=60°.
∴FC∥BD.
又∵∠BAD=∠ABC=60°,
∴AD∥BC,即FD∥BC.
∴四边形BCFD是平行四边形.
(3)∵∠BAD=60°,∠CAB=30°,![](http://img.wesiedu.com/upload/1/cb/1cb20be17573f70cbc925b3c7569f9b7.jpg)
∴∠CAH=90°.
在Rt△ABC中,∠CAB=30°,设BC=a,
∴AB=2BC=2a.
∴AD=AB=2a.
设AH=x,则HC=HD=AD-AH=2a-x,
在Rt△ABC中,AC2=(2a)2-a2=3a2,
AC=
3a,
在Rt△ACH中,AH2+AC2=HC2,即x2+3a2=(2a-x)2,
解得x=
1
4a,
即AH=
1
4a,
∴HC=2a-x=2a-
1
4a=
7
4a,
∴tan∠ACH=
AH
AC=
1
4a
3a=
∴∠ABC=60°.
在等边△ABD中,∠BAD=60°,
∴∠BAD=∠ABC=60°.
∵E为AB的中点,
∴AE=BE,
在△AEF和△BEC中
∠FAE=∠CBE
AE=BE
∠AEF=∠CEB,
∴△AEF≌△BEC(ASA).
(2)四边形BCFD是平行四边形,
理由是:在△ABC中,∠ACB=90°,E为AB的中点,
∴CE=
1
2AB,BE=
1
2AB,
∴∠BCE=∠EBC=60°.
又∵△AEF≌△BEC,
∴∠AFE=∠BCE=60°.
又∵∠D=60°,
∴∠AFE=∠D=60°.
∴FC∥BD.
又∵∠BAD=∠ABC=60°,
∴AD∥BC,即FD∥BC.
∴四边形BCFD是平行四边形.
(3)∵∠BAD=60°,∠CAB=30°,
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/cb/1cb20be17573f70cbc925b3c7569f9b7.jpg)
∴∠CAH=90°.
在Rt△ABC中,∠CAB=30°,设BC=a,
∴AB=2BC=2a.
∴AD=AB=2a.
设AH=x,则HC=HD=AD-AH=2a-x,
在Rt△ABC中,AC2=(2a)2-a2=3a2,
AC=
3a,
在Rt△ACH中,AH2+AC2=HC2,即x2+3a2=(2a-x)2,
解得x=
1
4a,
即AH=
1
4a,
∴HC=2a-x=2a-
1
4a=
7
4a,
∴tan∠ACH=
AH
AC=
1
4a
3a=
(2010•扬州二模)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连
如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连接CE并延长交AD于F
如图1,在△ABC中,∠ACB=90,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连接CE并延长交AD于F,
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连接CE并延长交AD于点F
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连接CE并延长交AD与F,
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°.D是BC上任一点,过点D作DE⊥AB于E,F是AD的中点,连
上图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是正△,E是AB的中点,连接CE并延长交AD于F
如图,在三角形ABC,角ACB=90度,角CAB=30度,三角形ABD是等边三角形,E是AB的中点,连接CE并延长交AD
等边三角形,已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=4,FA和FC分别是∠CAB和∠ACB的平分
如图,在三角形ABC,角ACB=90度,角CAB=30度,三角形ABD是等腰三角形,E是AB的中点,连接CE并延长交AD
如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,点M是AC的中点,将△ABC绕点M逆时针方向
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是AB,BC的中点