证明半正定矩阵特征值非负
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/01 02:48:50
证明半正定矩阵特征值非负
如何证明 半正定矩阵的特征值>=0
如何证明 半正定矩阵的特征值>=0
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对于实对称阵A,一定存在可逆阵P,使得
(P^T)AP=diag(a1,a2,...,an)
其中a1,a2,...,an为A的特征值.
对于任意列向量Y=[y1,y2,...,yn]^T,
做列向量X=PY.
由于A半正定,所以(X^T)AX>=0
[(PY)^T]A(PY)>=0
(Y^T)[(P^T)AP]Y>=0
a1*y1^2+a2*y2^2+...+an*yn^2>=0
由于列向量Y的任意性,
所以A的特征值a1,a2,...,an必须>=0
(P^T)AP=diag(a1,a2,...,an)
其中a1,a2,...,an为A的特征值.
对于任意列向量Y=[y1,y2,...,yn]^T,
做列向量X=PY.
由于A半正定,所以(X^T)AX>=0
[(PY)^T]A(PY)>=0
(Y^T)[(P^T)AP]Y>=0
a1*y1^2+a2*y2^2+...+an*yn^2>=0
由于列向量Y的任意性,
所以A的特征值a1,a2,...,an必须>=0
证明半正定矩阵特征值非负
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