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已知x1>0,x2>0且x1+x2=1,求x1log2x1+x2log2x2的最小值.

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/05 19:54:56
已知x1>0,x2>0且x1+x2=1,求x1log2x1+x2log2x2的最小值.
已知x1>0,x2>0且x1+x2=1,求x1log2x1+x2log2x2的最小值.
设f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x)(0<x<1),
则f′(x)=log2x+log2e-log2(1-x)-log2e=log2
x
1-x,
当0<x<
1
2时,0<
x
1-x<1,f′(x)<0,

1
2<x<1时,
x
1-x>1,f′(x)>0,
所以f(x)≥f(
1
2)=-1,
所以x1log2x1+x2log2x2=f(x1)≥-1,
且当x1=x2=
1
2时,取“=”,
所以x1log2x1+x2log2x2的最小值是-1;