直三棱柱ABC—A1B1C1中AA1=1.AB=4B.C=3,∠ABC=90°设平面A1BC1与平面ABC的交线为l则A
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/15 06:00:26
直三棱柱ABC—A1B1C1中AA1=1.AB=4B.C=3,∠ABC=90°设平面A1BC1与平面ABC的交线为l则A1C1与l的距离{求图
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过B作MN∥AC,再过A作AE⊥MN交MN于E、过C作CF⊥MN交MN于F,连结A1E、C1F.
∵∠ABC=90°, ∴由勾股定理,有:AC=√(AB^2+BC^2)=√(16+9)=5.
∵EF∥AC、AE⊥EF、CF⊥EF, ∴ACFE是矩形,
∴EF=AC=5、AE=CF、∠AEB=∠CFB=90°.
∴由勾股定理,有:√(AB^2-AE^2)=BE、√(BC^2-CF^2)=BF,
∴√(AB^2-AE^2)+√(BC^2-CF^2)=BE+BF=EF=5,
∴√(16-AE^2)=5-√(9-CE^2)=5-√(9-AE^2),
两边平方,得:16-AE^2=25-10√(9-AE^2)+9-AE^2,
∴10√(9-AE^2)=25+9-16=18, ∴5√(9-AE^2)=9,
两边再平方,得:25(9-AE^2)=81, ∴25AE^2=25×9-81=9×(25-9)=9×16,
∴AE^2=9×16/25=144/25.
∵ABC-A1B1C1是直棱柱, ∴AA1⊥平面ABC, 而B是矩形ACFE中EF上的一点,
∴AA1⊥平面ACFE, ∴AE是A1E在平面ACFE上的射影, 又EF⊥AE,
∴由三垂线定理,有:A1E⊥EF.
∵ABC-A1B1C1是直棱柱, ∴A1C1∥AC, 又EF∥AC, ∴A1C1∥EF.
由A1E⊥EF、A1C1∥EF,得:A1E为A1C1与EF间的距离.
∵A1C1∥EF, ∴A1、C1、F、E共面, 而B是FE上的点, ∴A1、C1、F、B、E共面.
∵ACFE是矩形, ∴A、C、F、E共面, 而B是EF上的点, ∴A、C、F、B、E共面.
∴EF是平面A1BC1与平面ABC的交线. ∴A1E是A1C1与 l 的距离.
∵AA1⊥平面ACFE, ∴AA1⊥AE,
∴A1E=√(AA1^2+AE^2)=√(1+144/25)=√(169/25)=13/5.
即A1C1与 l 的距离为13/5.
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/bb/9bbc1f7882da10aa651acfc497e32270.jpg)
∵∠ABC=90°, ∴由勾股定理,有:AC=√(AB^2+BC^2)=√(16+9)=5.
∵EF∥AC、AE⊥EF、CF⊥EF, ∴ACFE是矩形,
∴EF=AC=5、AE=CF、∠AEB=∠CFB=90°.
∴由勾股定理,有:√(AB^2-AE^2)=BE、√(BC^2-CF^2)=BF,
∴√(AB^2-AE^2)+√(BC^2-CF^2)=BE+BF=EF=5,
∴√(16-AE^2)=5-√(9-CE^2)=5-√(9-AE^2),
两边平方,得:16-AE^2=25-10√(9-AE^2)+9-AE^2,
∴10√(9-AE^2)=25+9-16=18, ∴5√(9-AE^2)=9,
两边再平方,得:25(9-AE^2)=81, ∴25AE^2=25×9-81=9×(25-9)=9×16,
∴AE^2=9×16/25=144/25.
∵ABC-A1B1C1是直棱柱, ∴AA1⊥平面ABC, 而B是矩形ACFE中EF上的一点,
∴AA1⊥平面ACFE, ∴AE是A1E在平面ACFE上的射影, 又EF⊥AE,
∴由三垂线定理,有:A1E⊥EF.
∵ABC-A1B1C1是直棱柱, ∴A1C1∥AC, 又EF∥AC, ∴A1C1∥EF.
由A1E⊥EF、A1C1∥EF,得:A1E为A1C1与EF间的距离.
∵A1C1∥EF, ∴A1、C1、F、E共面, 而B是FE上的点, ∴A1、C1、F、B、E共面.
∵ACFE是矩形, ∴A、C、F、E共面, 而B是EF上的点, ∴A、C、F、B、E共面.
∴EF是平面A1BC1与平面ABC的交线. ∴A1E是A1C1与 l 的距离.
∵AA1⊥平面ACFE, ∴AA1⊥AE,
∴A1E=√(AA1^2+AE^2)=√(1+144/25)=√(169/25)=13/5.
即A1C1与 l 的距离为13/5.
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/bb/9bbc1f7882da10aa651acfc497e32270.jpg)
直三棱柱ABC—A1B1C1中AA1=1.AB=4B.C=3,∠ABC=90°设平面A1BC1与平面ABC的交线为l则A
1.已知ABC-A1B1C1是直三棱柱,平面A1BC1交平面ABC于直线l,若AA1=1,AB=4,BC=3,角ABC=
第4题.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=AC,点D为AA1的中点 ,求证,平面B1DC⊥平面B
直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=AA1=a,则点到平面A1BC的距离是?
⒓正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值为(B )
如图,直三棱柱ABC–A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点(1)证明BC1//平面A1CD(2)设AA1=AC
如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1垂直平面ABC,AB=BC
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为( )
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为多少
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=AA1=根号3,角ABC=60°.求二面角A-A1C-B大小
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=4,∠BAC=90°,D为B1C1的中点,求异面直线AB1与C
题 直三棱柱ABC-A1B1C1 中,角BAC=90°,AB=a,AA1=2a,D为BB1的中点