原题“设abc为不相等的实数,证明ax^2+2bx+c=0.bx^2+2cx+a=0,cx^2+2a+b=0,这三个方程
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 05:53:56
原题“设abc为不相等的实数,证明ax^2+2bx+c=0.bx^2+2cx+a=0,cx^2+2a+b=0,这三个方程不可能有等根.”
如何证明a+b+c不等于零
不是各自有相等的根
他们共同有一个根
如何证明a+b+c不等于零
不是各自有相等的根
他们共同有一个根
![原题“设abc为不相等的实数,证明ax^2+2bx+c=0.bx^2+2cx+a=0,cx^2+2a+b=0,这三个方程](/uploads/image/z/7920837-45-7.jpg?t=%E5%8E%9F%E9%A2%98%E2%80%9C%E8%AE%BEabc%E4%B8%BA%E4%B8%8D%E7%9B%B8%E7%AD%89%E7%9A%84%E5%AE%9E%E6%95%B0%2C%E8%AF%81%E6%98%8Eax%5E2%2B2bx%2Bc%3D0.bx%5E2%2B2cx%2Ba%3D0%2Ccx%5E2%2B2a%2Bb%3D0%2C%E8%BF%99%E4%B8%89%E4%B8%AA%E6%96%B9%E7%A8%8B)
证明:
(为什么一定要从正面做呢?考虑下用反面来做,导出矛盾,结论正确)
反证法
假设三个方程都有相等的实数根,
则有判别式:
4b^2-4ac=0,
4c^2-4ab=0,
4a^2-4bc=0
即
b^2=ca,
c^2=ab,
a^2=bc
所以
(a+b+c)^2
=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)
=0
当且仅当a=b=c时成立
这与a,b,c 互不相等矛盾
所以假设不成立,
原命题成立
(为什么一定要从正面做呢?考虑下用反面来做,导出矛盾,结论正确)
反证法
假设三个方程都有相等的实数根,
则有判别式:
4b^2-4ac=0,
4c^2-4ab=0,
4a^2-4bc=0
即
b^2=ca,
c^2=ab,
a^2=bc
所以
(a+b+c)^2
=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)
=0
当且仅当a=b=c时成立
这与a,b,c 互不相等矛盾
所以假设不成立,
原命题成立
原题“设abc为不相等的实数,证明ax^2+2bx+c=0.bx^2+2cx+a=0,cx^2+2a+b=0,这三个方程
设a b a为两两不相等的实数,则三个二次方程Ax^2+2Bx+C=0,Bx^2Cx+A=0,Cx^2+2Ax+B=0不
设a,b,c为实数,求证方程4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c在(0,1)内至少有一实根
已知以下三个二次方程有公共根:ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0.
已知以下三个二次方程有公共根:ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0,求这三个方程的根
已知a、b、c是三个互不相等的实数,且三个关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+
已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax
已知三个关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx……2+ax+b=0恰有一个公共实数根
1.a,b,c为非零实数,且ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0试问:a,b,c
设a,b,c为互不相等的非零实数,求证:方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0不可能
设y=ax^3+bx^2+cx+d(a
已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx^2+cx+d,g(x)=ax^3+bx^2+cx+d,方程f(x