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已知:如图,在△ABC中,∠B=90°,D是边AB的中线,点E,F分别在边BC,AC上,且EF=FC,DF=DA.

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/22 17:16:15
已知:如图,在△ABC中,∠B=90°,D是边AB的中线,点E,F分别在边BC,AC上,且EF=FC,DF=DA.
求证:点D在AD的垂直平分线上
已知:如图,在△ABC中,∠B=90°,D是边AB的中线,点E,F分别在边BC,AC上,且EF=FC,DF=DA.
证明:在Rt△ABC中
∵∠B=90° EF=FC DF=DA
∴∠C=∠FEC ∠A=∠DFA
∵∠C+∠A=90°
∴∠FEC+∠DFA=90°
∴∠DFE=180°-(∠FEC+∠DFA)=90°
∴DF⊥FE
∵D是边AB的中点
∴AD=BD
∴BD=DF
∵AB⊥BC
∴DE是∠BEF的平分线
∴∠BED=∠FED
∵DE=DE ∠B=∠DFE=90°
∴Rt△DBE≌Rt△DFE
∴BE=FE
∴四边形DFEB是正方形
∴∠FDB=90°
∴点D在AD的垂直平分线上