数列求解1+2²+3²+4²+.+n²=?
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/23 09:25:10
数列求解1+2²+3²+4²+.+n²=?
![数列求解1+2²+3²+4²+.+n²=?](/uploads/image/z/7506306-18-6.jpg?t=%E6%95%B0%E5%88%97%E6%B1%82%E8%A7%A31%2B2%26%23178%3B%2B3%26%23178%3B%2B4%26%23178%3B%2B.%2Bn%26%23178%3B%EF%BC%9D%3F)
证法一(归纳猜想法):
1、N=1时,1=1(1+1)(2×1+1)/6=1
2、N=2时,1+4=2(2+1)(2×2+1)/6=5
3、设N=x时,公式成立,即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6
则当N=x+1时,
1+4+9+…+x2+(x+1)2=x(x+1)(2x+1)/6+(x+1)2
=(x+1)[2(x2)+x+6(x+1)]/6
=(x+1)[2(x2)+7x+6]/6
=(x+1)(2x+3)(x+2)/6
=(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]/6
也满足公式
4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证.
证法二(利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1):
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得:
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得:
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)
1、N=1时,1=1(1+1)(2×1+1)/6=1
2、N=2时,1+4=2(2+1)(2×2+1)/6=5
3、设N=x时,公式成立,即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6
则当N=x+1时,
1+4+9+…+x2+(x+1)2=x(x+1)(2x+1)/6+(x+1)2
=(x+1)[2(x2)+x+6(x+1)]/6
=(x+1)[2(x2)+7x+6]/6
=(x+1)(2x+3)(x+2)/6
=(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]/6
也满足公式
4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证.
证法二(利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1):
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得:
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得:
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)
数列求解1+2²+3²+4²+.+n²=?
求解一道数列题,n×1+(n-1)×2+(n-2)×3+(n-3)×4+.1×n等于什么.例子,比如n=3,数列是:3×
数列的极限计算lim(3n²+4n-2)/(2n+1)²
给出一个数列 n²,(n+1)²,(n+2)²,(n+3)²,.,(n+α)
已知数列an的前n项和为sn=1/4n²+2/3n+3,求这个数列的通向公式
已知数列an的前n项为sn=1/4 n²+2/3 n+3,求这个数列的通项公式
数列通项公式的求解1*2*3*4*.n =
已知数列an的前n项和Sn,求数列的通项公式.(1)Sn=3n²-n (2)Sn=2n+1
数列a数列b,满足ab=1,且a=n²+3n+2,则数列b的前10项和为?
已知数列 {a(n)} 的通项公式为a(n)=1/(n²+2n),求数列 {a(n)}前n项和
已知数列{An}的前n项和Sn=3n²-2n,证明数列{An}为等差数列
(7m²-4mn-n²)-(3m²-mn+2n²)求解