求证:当x>0时,1/(x+1)
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/02 16:27:49
求证:当x>0时,1/(x+1)
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法1.
利用函数单调性证明
移项即证ln(1+x)-x/(x+1)>0,x>0
令f(x)=ln(1+x)-x/(x+1),x>=0
求导f'(x)=1/(x+1)-[(x+1)-x]/(x+1)^2=x/(x+1)^2>0,(x>0)
知f(x)在x>0上单调递增,又f(x)可在x=0处连续.
则有f(x)>f(0)=0
即ln(1+x)-x/(x+1)>0
亦即1/(x+1)0命题得证.
法2.
中值定理证明
记f(x)=ln(x+1),g(x)=x,(x>0)且g'(x)≠0,f(0)=g(0)=0
显然两函数在[0,x]上满足柯西中值定理条件
则存在ξ∈(0,x),使得[ln(x+1)]/x=f(x)/g(x)=[f(x)-f(0)]/[g(x)-g(0)]=f'(ξ)/g'(ξ)=1/(1+ξ)
因为1/(1+ξ)>1/(1+x),其中ξ∈(0,x),
于是得到[ln(x+1)]/x>1/(1+x),x>0命题得证.
利用函数单调性证明
移项即证ln(1+x)-x/(x+1)>0,x>0
令f(x)=ln(1+x)-x/(x+1),x>=0
求导f'(x)=1/(x+1)-[(x+1)-x]/(x+1)^2=x/(x+1)^2>0,(x>0)
知f(x)在x>0上单调递增,又f(x)可在x=0处连续.
则有f(x)>f(0)=0
即ln(1+x)-x/(x+1)>0
亦即1/(x+1)0命题得证.
法2.
中值定理证明
记f(x)=ln(x+1),g(x)=x,(x>0)且g'(x)≠0,f(0)=g(0)=0
显然两函数在[0,x]上满足柯西中值定理条件
则存在ξ∈(0,x),使得[ln(x+1)]/x=f(x)/g(x)=[f(x)-f(0)]/[g(x)-g(0)]=f'(ξ)/g'(ξ)=1/(1+ξ)
因为1/(1+ξ)>1/(1+x),其中ξ∈(0,x),
于是得到[ln(x+1)]/x>1/(1+x),x>0命题得证.
求证当x>0时,x>ln(1+x)
当x>0时,求证ln[(1+x)/x]
求证:当x>0时,1/(x+1)
当x趋向于0时,求证lim(2x+1)/x-1=-1
用中值定理求证,当x>0时,x/(1+x)
当x>0时,x>ln(x+1)求证!
当x 不等于0时,求证e的x次方>1+x
求证:当x>0时,不等式sinx+cosx>1+x-x^2成立.
已知f(x)=lnx+(1/x)(x>0),g(x)=lnx-x(x>0)求证当x>0时,xln(1+1/x)
当X大于1时,求证:2倍根号下X大于3减X分之一?
已知|sinx-cosx|≤|x-y|,当x>0时,求证:1/x+1<ln(1+1/x)<1/x
设a≥0,f(x)=x-1-(lnx)^2+2alnx(x>0) 求证:当x>1时,恒有x>(lnx)^2-2alnx+