如何证明矩阵特征值的几何重数等于相应Jordan块的个数,谢谢!
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/09 13:59:37
如何证明矩阵特征值的几何重数等于相应Jordan块的个数,谢谢!
这个比较简单,证明过程如下:
1. A相似于某个Jordan标准型J,且J = diag{J1, J2, ..., Jp},Ji表示第i个特征值λi对应的Jordan块;
2. 不难发现,J对应于任何λi的几何重数等于A对应于λi的几何重数;
3. J - λi*I = diag{J1 - λi * I1, J2 - λi * I2, ..., Jp - λi * Ip},假设特征值为λi的Jordan块个数(不是Jordan块阶数)为ni个,那么rank(diag{J1 - λi * I1, J2 - λi * I2, ..., Jp - λi * Ip}) = n - ni(因为每个特征值为λi的Jordan块减去λi * I后分别减少1阶,而其他特征值不为λi的Jordan块在减去λi * I后仍然是满秩的),因此rank(J - λi*I) = n - ni,于是J对应于λi的几何重数为ni;
4. 结合2、3不难推出,A对应于λi的几何重数等于相应Jordan块的个数,证毕!
1. A相似于某个Jordan标准型J,且J = diag{J1, J2, ..., Jp},Ji表示第i个特征值λi对应的Jordan块;
2. 不难发现,J对应于任何λi的几何重数等于A对应于λi的几何重数;
3. J - λi*I = diag{J1 - λi * I1, J2 - λi * I2, ..., Jp - λi * Ip},假设特征值为λi的Jordan块个数(不是Jordan块阶数)为ni个,那么rank(diag{J1 - λi * I1, J2 - λi * I2, ..., Jp - λi * Ip}) = n - ni(因为每个特征值为λi的Jordan块减去λi * I后分别减少1阶,而其他特征值不为λi的Jordan块在减去λi * I后仍然是满秩的),因此rank(J - λi*I) = n - ni,于是J对应于λi的几何重数为ni;
4. 结合2、3不难推出,A对应于λi的几何重数等于相应Jordan块的个数,证毕!
如何证明矩阵特征值的几何重数等于相应Jordan块的个数,谢谢!
矩阵jordan块与相应算子的特征值的代数重数和几何重数的关系,要怎样来解释,
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