一道高二推理与证明题,
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/16 17:41:08
一道高二推理与证明题,
设数列{An}A1=2,A(n+1)=An+(1/An) (n=1,2,3………) 证明An>根号下(2n+1)对任何正整数成立.
设数列{An}A1=2,A(n+1)=An+(1/An) (n=1,2,3………) 证明An>根号下(2n+1)对任何正整数成立.
![一道高二推理与证明题,](/uploads/image/z/6361869-21-9.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E9%AB%98%E4%BA%8C%E6%8E%A8%E7%90%86%E4%B8%8E%E8%AF%81%E6%98%8E%E9%A2%98%2C)
数学归纳法.
当n=1时,A1=2>根号3=根号(2*1+1) 成立.
假设n=k时不等式成立,即Ak>根号(2k+1)
则当n=k+1时,注意到An是正数,所以An>A(n-1)>...>A1=2,即An>2.
又因为函数f(x)=x+1/x在(1,正无穷)上单调递增,所以由归纳假设:
Ak+1/Ak>根号(2k+1)+1/根号(2k+1).为此,要证明n=k+1时结论成立,即证明
A(k+1)>根号(2k+3),只要证明 根号(2k+1)+1/根号(2k+1)>根号(2k+3),亦即只要证明
1/根号(2k+1)
>根号(2k+3)-根号(2k+1)
=2/[根号(2k+3)+根号(2k+1)] (1)
显然,2k+3>2k+1,因此
2/[根号(2k+3)+根号(2k+1)]
根号(2k+3)=根号(2*(k+1)+1)成立.
综上,由数学归纳法原理,An>根号(2n+1)对任何正整数成立.
当n=1时,A1=2>根号3=根号(2*1+1) 成立.
假设n=k时不等式成立,即Ak>根号(2k+1)
则当n=k+1时,注意到An是正数,所以An>A(n-1)>...>A1=2,即An>2.
又因为函数f(x)=x+1/x在(1,正无穷)上单调递增,所以由归纳假设:
Ak+1/Ak>根号(2k+1)+1/根号(2k+1).为此,要证明n=k+1时结论成立,即证明
A(k+1)>根号(2k+3),只要证明 根号(2k+1)+1/根号(2k+1)>根号(2k+3),亦即只要证明
1/根号(2k+1)
>根号(2k+3)-根号(2k+1)
=2/[根号(2k+3)+根号(2k+1)] (1)
显然,2k+3>2k+1,因此
2/[根号(2k+3)+根号(2k+1)]
根号(2k+3)=根号(2*(k+1)+1)成立.
综上,由数学归纳法原理,An>根号(2n+1)对任何正整数成立.