已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数,且对於任意的a,b属於R都满足f（ab）=af（b）+bf（a）

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/30 22:22:18

已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数,且对於任意的a,b属於R都满足f（ab）=af（b）+bf（a）
（1）求f（0）,f（1）（2）判断f（x）的奇偶数
已知f（x）是定义在（0,正无穷）上的增函数,且满足f（xy）=f（x）+f（y）,f（2）=1
（1)求证f(8)+3 (2)若x满足f(x)-f(x-2)大於3,求x的取值范围

这是第一题两问,
（1）
令a=0,代入f（ab）=af（b）+bf（a）
得f(0)=0*f(b)+b*f(0)=b*f(0) (1)式
再令b=0,代入f（ab）=af（b）+bf（a）
得f(0)=a*f(0)+0*f(a)=a*f(0) (2)式
由(1)式和(2)得
f(0)=a*f(0)=b*f(0)
对于任意的ab上式都成立,只有f(0)=0
令a=b=1代入f（ab）=af（b）+bf（a）
有f(1)=f(1)+f(1)
于是f(1)=0
(2)
令a=-1,b=-1代入f（ab）=af（b）+bf（a）
有f(1)=-f(-1)-f(-1)=-2f(-1)=0
得f(-1)=0
令b=-1代入f（ab）=af（b）+bf（a）
有f(-a)=af(-1)-f(a)=-f(a)
故为奇函数