50分,一道简单数学题,中值定理
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/12 05:01:38
50分,一道简单数学题,中值定理
a0+a1/2+a2/3+.an/n+1=0
证明,方程a0+a1x+...+an x的N访=0在(0,1)内必有零点
请过程
谢谢!
a0的那个零是小零,就是跟a下面的,打不出来:)
a0+a1/2+a2/3+.an/n+1=0
证明,方程a0+a1x+...+an x的N访=0在(0,1)内必有零点
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a0的那个零是小零,就是跟a下面的,打不出来:)
![50分,一道简单数学题,中值定理](/uploads/image/z/5704698-66-8.jpg?t=50%E5%88%86%2C%E4%B8%80%E9%81%93%E7%AE%80%E5%8D%95%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%A2%98%2C%E4%B8%AD%E5%80%BC%E5%AE%9A%E7%90%86)
构造F(x)=a0*x+a1*x^2/2+a2*x^3/3+...+an*x^(n+1)/(n+1)
显然F(x)在[0,1]上连续可导
由F(0)=0,F(1)=a0+a1/2+...+an/(n+1)=0
所以F(0)=F(1)
由Rolle定理知在(0,1)之间存在x,使得F'(x)=0
即F'(x)=a0+a1*x+...+an*x^n在(0,1)内有0点
显然F(x)在[0,1]上连续可导
由F(0)=0,F(1)=a0+a1/2+...+an/(n+1)=0
所以F(0)=F(1)
由Rolle定理知在(0,1)之间存在x,使得F'(x)=0
即F'(x)=a0+a1*x+...+an*x^n在(0,1)内有0点