问题如图,高数微分方程相关.
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/18 12:52:55
问题如图,高数微分方程相关.
![问题如图,高数微分方程相关.](/uploads/image/z/5132444-68-4.jpg?t=%E9%97%AE%E9%A2%98%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E9%AB%98%E6%95%B0%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%9B%B8%E5%85%B3.)
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/30/b30321aca78b4b4fe35a4db733d6f54e.jpg)
再问:
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/bb/1bb8547a4a48dc00f4616a1dfb539126.jpg)
再答: 这里是两对啊。。r^4+2r^2+1=0,(r^2+1)^2=0
再问: 我知道,两对的话,不是应该都写上去吗
再问:
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/0f/c0f5e0137ffe938290efbf1979b4f631.jpg)
再答: 你看我贴的那张图。高阶微分方程的解的形式有点复杂吧。。
再问: 感觉还是有点对不上去-_-||你能解答一遍给我看下吗
再答: 首先不同实根的解是c1e^r1x+c2e^r2x,但这里只有单根,而且还是0,所以是c1
然后重根是两对还是复根,所以k-1=1.±i,所以α=0,e^0=1,其次就是β=1,所以解的形式是c2cosx+c3xcosx+c4sinx+c5xsinx,这两个得加起来才是通解的形式,所以是y=c1+(c2+c3x)cosx+(c4+c5x)sinx
再问:
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/b8/cb81cd830f8a6ffa8b6c58207492f229.jpg)
再问:
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/c3/ac351f07a0d3a3a2282147b728c7abc4.jpg)
再答: 不好意思,我看错了,k是k重复根,也就是说,这里的r的解是±i,但是因为有平方所以是二重的,你看那张图,出现上面的情况后把那些函数全部相加就行。比如说例9,两重四根1,所以按图特解1形式就是c1e^rx+c2xe^rx=(c1+c2x)e^x,这是实根得到的,而复根只有一重,所以按图中所给就是e^ax(c3cosbx+c4sinbx)=c3cosx+c4sinx,所以通解就是两个特解之和y=(c1+c2x)e^x+c3cosx+c4sinx
就我而言目前只能记下这个特解的形式,总之k重复根的话,cosβx和sinβx那部分要求和到x的k-1次方项,然后再相加。我不知道我所说的是否是在解答你的疑问,额。
再问: 我想有些明白了,谢谢啦!
再答: 我昨晚又想了一下,我印象中,二阶微分方程的通解好像是两个特解之和,那么我们可以推广到n阶的情况,也就是n阶微分方程,当然是针对齐次而言,通解形式是n个特解的线性组合,而且属于不同特征根的特解之间是线性无关的,我没办法推导出n阶特解为什么是这个形式,这个不好意思,只能麻烦你稍微记一下规律,然后你把k确定了,就可以写出特解了,这个时候把特征根对应的特解加起来,就得到通解了。这是我的想法,希望可以帮到你把
再问: 嗯嗯,这些对目前的题目已经够用了,谢啦