德国著名数学家高斯(Gauss)在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n= n(n+1)/2
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 15:46:41
德国著名数学家高斯(Gauss)在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n= n(n+1)/2
德国著名数学家高斯(Gauss)在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n=n(n+1)/2.
这个公式可以用一种叫做“交叉消项求和法”的方法推导如下:在“平方公式”(a+b)²=a²+2ab+b²中,取b=1,得2a+1=(a+1)²-a².…(*)在(*)中分别取a=1,2,3,…,n,再左右分别相加,得2(1+2+3+…+n)+n×1=(22-12)+(32-22)+(42-32)+…+[n²-(n-1)²]+[(n+1)²-n²]=(n+1)2-1=n²+2n.即1+2+3+…+n=n(n+1)/2.
(1)在“立方公式”中,取b=1,可得_______=(a+1)^3-a^3;
(2)在(1)得到的式子中,依次取a=1,2,3,…,n,分别写出你得到的式子;
(3)请你将(2)中得到的等式两边相加,并整理得出1²+2²+3²+…+n²的计算公式.
德国著名数学家高斯(Gauss)在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n=n(n+1)/2.
这个公式可以用一种叫做“交叉消项求和法”的方法推导如下:在“平方公式”(a+b)²=a²+2ab+b²中,取b=1,得2a+1=(a+1)²-a².…(*)在(*)中分别取a=1,2,3,…,n,再左右分别相加,得2(1+2+3+…+n)+n×1=(22-12)+(32-22)+(42-32)+…+[n²-(n-1)²]+[(n+1)²-n²]=(n+1)2-1=n²+2n.即1+2+3+…+n=n(n+1)/2.
(1)在“立方公式”中,取b=1,可得_______=(a+1)^3-a^3;
(2)在(1)得到的式子中,依次取a=1,2,3,…,n,分别写出你得到的式子;
(3)请你将(2)中得到的等式两边相加,并整理得出1²+2²+3²+…+n²的计算公式.
![德国著名数学家高斯(Gauss)在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n= n(n+1)/2](/uploads/image/z/5086471-31-1.jpg?t=%E5%BE%B7%E5%9B%BD%E8%91%97%E5%90%8D%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AE%B6%E9%AB%98%E6%96%AF%EF%BC%88Gauss%EF%BC%89%E5%9C%A8%E4%B8%8A%E5%B0%8F%E5%AD%A6%E6%97%B6%E5%B0%B1%E5%B7%B2%E6%B1%82%E5%87%BA%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%85%AC%E5%BC%8F1%2B2%2B3%2B%E2%80%A6%2Bn%EF%BC%9D+n%28n%2B1%29%2F2)
(1)3a^2+3a+1=(a+1)^3-a^3
(2)这 n 个式子分别是
3*1^2+3*1+1=2^3-1^3
3*2^2+3*2+1=3^3-2^3
3*3^2+3*3+1=4^3-3^3
.
3*n^2+3*n+1=(n+1)^3-n^3
(3)把以上 n 个式子左右两边分别相加,可得
3*(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3*(1+2+3+.+n)+n*1=(n+1)^3-1^3 ,
所以 3*(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3*n(n+1)/2+n=n^3+3n^2+3n
3*(1^2+2^2+3^2+.+n^2)=n^3+3n^2+3n-3n(n+1)/2-n=1/2*n(n+1)(2n+1) ,
两边除以 3 得 1^2+2^2+3^2+.+n^2=1/6*n(n+1)(2n+1) .
(2)这 n 个式子分别是
3*1^2+3*1+1=2^3-1^3
3*2^2+3*2+1=3^3-2^3
3*3^2+3*3+1=4^3-3^3
.
3*n^2+3*n+1=(n+1)^3-n^3
(3)把以上 n 个式子左右两边分别相加,可得
3*(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3*(1+2+3+.+n)+n*1=(n+1)^3-1^3 ,
所以 3*(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3*n(n+1)/2+n=n^3+3n^2+3n
3*(1^2+2^2+3^2+.+n^2)=n^3+3n^2+3n-3n(n+1)/2-n=1/2*n(n+1)(2n+1) ,
两边除以 3 得 1^2+2^2+3^2+.+n^2=1/6*n(n+1)(2n+1) .
德国著名数学家高斯(Gauss)在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n= n(n+1)/2
(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)……(n-m+1)(n-m)n大于m 的计算公式
数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题,1+2+3+…+10=?
阅读材料,数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题,1+2+3+…+10=?
大数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题:1+2+3+……+n=?经过研究,这个问题的一般性结论是1+2+3+……+n
n个自然数:1,2,3,4,……,n,其平方和可用公式n(n+1)(2n+1)分之6来计算,试计算:
阅读材料,数学家高斯在上学时曾经研究过这个问题,1+2+3+...+10=?
计算:n(n+1)(n+2)(n+3)+1
计算:C(1,n)+2C(2,n)+3C(3,n) + … + nC(n,n)
n个自然数:1,2,3…,n,其平方和可用公式n(n+1)(2n+1)/6来计算,试计算11*11+12*12+
等腰三角形求高公式已知底为n(不知道面积!),能否求出公式?
证明不等式:(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+.+(n/n)^n