初三数学题(圆综合压轴题)
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/16 04:16:50
初三数学题(圆综合压轴题)
在⊙O中,AB为⊙O直径,PC经过⊙O,C为AB的延长线,
PD:DC=2:3,过P作AB垂线交于点F,连接OD交PF于点E,连接CE,
Q为⊙O上一点,连接OQ、EQ、QP,OC=5,DC=3,
EC为∠PCA的角平分线且FC=CD
(1)求⊙O半径
(2)当∠QOD=90°时,AB上有一点G,求PG+QG的最小值
(3)S△PQE是否存在最大值?若存在,请写出S△PQE的最大值,若不存在,请说明理由
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![](http://img.wesiedu.com/upload/1/ff/1ff8cda6b13c4828d8c134d7092ff8b4.jpg)
如图,作QM垂直AB交圆O于Q',连结PQ'交AB于G,连结GQ,作Q'N垂直PF,作DH垂直AB,垂足分别为N、H.
(1)因为PD:DC=2:3,FC=DC=3,所以PD=2,PC=5,又OC=5,因此PC=OC=5,又知EC是角PCO的平分线,所以角PCE=角OCE,可得三角形PCE全等三角形OCE,因此角EPC=角EOC,又角PED=角OEF,角OFE=90度,所以角EPC+角PED=90度,因此角PDO=90度,所以OD垂直PC,PC是圆O切线,可得DC的平方=CAXCB,设圆O的半径为R,则3的平方=(5+R)X(5-R),解得R=4.
(2)因为OQ=OD,角DOQ=90度,所以角MOQ=角ODH,角QMO=角OHD=90度,所以三角形QMO全等三角形OHD,又ODXDC=OCXDH,所以4X3=5XDH,得DH=12/5,OM=DH=12/5,
OF=5-3=2,MF=Q'N=22/5,FN=OM=QM=根号下4的平方-(12/5)的平方=16/5,
所以PG+QG=PG+Q'G=PQ'=根号下(16/5+4)的平方+(12/5+2)的平方=2/5根号下445,
因此PG+QG的最小值是2/5根号下445.
(3)当Q与A重合时,三角形PQE面积最大值是1/2XPEXAF=1/2X5/2X6=15/2
由内角平分线定理可得PC:FC=PE:EF,所以5:3=PE:(4-PE),解得PE=5/2