(1+1/n)的(n+1)次方 的单调性是怎么用均值不等式证明?
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/17 06:21:39
(1+1/n)的(n+1)次方 的单调性是怎么用均值不等式证明?
同学要我提高悬赏……
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你的要求好苛刻啊,这个方法我也是第一次使用,有点类似数列极限的夹逼定理.用均值不等式放缩,找到一个更大的函数和一个更小的函数,然后证明这两个函数都是单调的,从而证明夹住的中间函数也是单调的.说实话,其实完全没有必要用均值.
设目标函数为fn,然后让我们先进行一次判断,该函数在零处取不到,所以,必须分为正负两段,分别用均值去证明单调.通过观察,显而易见,函数在正零处趋近正无穷,在正无穷处趋近于1,所以函数单调递减.而且函数在两段内连续.
以大于零部分为例,对目标函数求对数,不妨求为ln f(n),令新函数为gn.我们知道ln n在定义域内单调递增,所以只需要证明g n在定义域内单调递增就可以证明目标函数fn单调递减.
gn=(n+1)【ln(1+1/n)】 对(1+1/n)均值不等式有根号下2加上n方分之2大于等于 (1+1/n)大于等于根号下n分之四(其实做到这里你会发现,用均值取下限最大值n分之四放缩的有些大了,我暂时也想不出来向下用均值的方法,所以暂且向下放缩为1+n方分之1)
这个时候就变成证明tn=(n+1)ln(根号下2+2/n方)以及qn=(n+1)ln(n方分之1)的单调性了.此时把n+1都扔进去,你会发现两个函数都是单调递增的.所以中间加的函数也是单调递增的,所以原函数是单调递减的
在小于零部分同理了.
我第一次听说用均值证明单调性,很有意思,稍微想了一下,其实是硬凑出来的使用均值.希望对楼主有帮助,如果楼主有了好方法,不妨也来分享一下子.
设目标函数为fn,然后让我们先进行一次判断,该函数在零处取不到,所以,必须分为正负两段,分别用均值去证明单调.通过观察,显而易见,函数在正零处趋近正无穷,在正无穷处趋近于1,所以函数单调递减.而且函数在两段内连续.
以大于零部分为例,对目标函数求对数,不妨求为ln f(n),令新函数为gn.我们知道ln n在定义域内单调递增,所以只需要证明g n在定义域内单调递增就可以证明目标函数fn单调递减.
gn=(n+1)【ln(1+1/n)】 对(1+1/n)均值不等式有根号下2加上n方分之2大于等于 (1+1/n)大于等于根号下n分之四(其实做到这里你会发现,用均值取下限最大值n分之四放缩的有些大了,我暂时也想不出来向下用均值的方法,所以暂且向下放缩为1+n方分之1)
这个时候就变成证明tn=(n+1)ln(根号下2+2/n方)以及qn=(n+1)ln(n方分之1)的单调性了.此时把n+1都扔进去,你会发现两个函数都是单调递增的.所以中间加的函数也是单调递增的,所以原函数是单调递减的
在小于零部分同理了.
我第一次听说用均值证明单调性,很有意思,稍微想了一下,其实是硬凑出来的使用均值.希望对楼主有帮助,如果楼主有了好方法,不妨也来分享一下子.
(1+1/n)的(n+1)次方 的单调性是怎么用均值不等式证明?
证明数列an=(n+2)/(2n²+1)的单调性
证明不等式:(1/n)的n次方+(2/n)的n次方+……+(n/n)的n次方
利用均值不等式证明(1 1/n)^n
利用函数单调性,证明下列不等式 (2)e的x次方>x+1
怎么证明(1+2/n)的n次方得极限是e的平方
不等式的导数证明i、m、n为正整数,且1均值不等式证明方法能不能详细一点。
求满足不等式(1+1/n)的N次方
利用函数的单调性,证明下列不等式(1)sinx
用均值不等式证明~求证:1+1/4+1/9+1/16……+1/(n^2)<2(n∈N+)
不等式证明救命(1+1/n)的n次方小于n
不等式证明:a+b=1,证明 (ab)的n次方+1/(ab)的n次方>=4的n次方+1/4的n次方