已知曲线曲率为K(x),起点和终点坐标,求曲线方程
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/17 11:23:01
已知曲线曲率为K(x),起点和终点坐标,求曲线方程
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根据曲率K(x),和曲率半经ρ的关系:有:k(x)=1/ρ
其中 ρ=|(1+y'^2)^(3/2)]/y"|
这样k(x)=y"/(1+y'^2)^(3/2),以下k(x)简记为K
两边平方化简整理可得:y''^2-k^2(1+y'^2)^3=0,这是一个高阶微分方程.
假设起点坐标为(x1,y1)终点坐标为(x2,y2)然后根据解微分方程的方法去解就是,中积分的边界条件为起终点坐标.
关于方程的解法和过程此处略去,详细可见大学高数微分方程解法.
再问: 唉~!你说的我也知道,其实我想要的是过程和结果~!
再答: 真麻烦 因为是这样的,上面的幂次中不含整数次,是分式次,所以直接解这个微分方程是有难度的。 通过换元法,令y'=t,原方程可化为:t'=k(1+t^2)^(3/2) 这样就有多种近似方法可解。 一种是把后面(1+t^2)^(3/2)根据泰勒公式展开,展开到2次就可以,然后积分的就简单的多了。后就我就略了。 一种是按照龙格库塔法,但该方法计算量大。 你想一想,你是任意给的一条曲线,只知道起点和终点,怎么可能通过普通的积分就求出来,显然是一个较为复杂的微分方程,其实按常规是要曲线拟合去处理的。
其中 ρ=|(1+y'^2)^(3/2)]/y"|
这样k(x)=y"/(1+y'^2)^(3/2),以下k(x)简记为K
两边平方化简整理可得:y''^2-k^2(1+y'^2)^3=0,这是一个高阶微分方程.
假设起点坐标为(x1,y1)终点坐标为(x2,y2)然后根据解微分方程的方法去解就是,中积分的边界条件为起终点坐标.
关于方程的解法和过程此处略去,详细可见大学高数微分方程解法.
再问: 唉~!你说的我也知道,其实我想要的是过程和结果~!
再答: 真麻烦 因为是这样的,上面的幂次中不含整数次,是分式次,所以直接解这个微分方程是有难度的。 通过换元法,令y'=t,原方程可化为:t'=k(1+t^2)^(3/2) 这样就有多种近似方法可解。 一种是把后面(1+t^2)^(3/2)根据泰勒公式展开,展开到2次就可以,然后积分的就简单的多了。后就我就略了。 一种是按照龙格库塔法,但该方法计算量大。 你想一想,你是任意给的一条曲线,只知道起点和终点,怎么可能通过普通的积分就求出来,显然是一个较为复杂的微分方程,其实按常规是要曲线拟合去处理的。
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