(2014•重庆三模)某同学的数学研究性学习课题是:在校内一块不规则土地OABC(测绘图如图所示)规划一个矩形运动场地.
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/20 05:02:41
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(1)该同学在测绘图上建立了以O为原点,直线AO为x轴的直角坐标系,请帮他计算曲线段OC对应的函数关系式;
(2)如果矩形运动场地BDEF的相邻两边分别落在AB,BC上,且一个顶点E落在曲线段OC上,该同学应如何规划才能使运动场地面积最大?
![(2014•重庆三模)某同学的数学研究性学习课题是:在校内一块不规则土地OABC(测绘图如图所示)规划一个矩形运动场地.](/uploads/image/z/431527-31-7.jpg?t=%EF%BC%882014%E2%80%A2%E9%87%8D%E5%BA%86%E4%B8%89%E6%A8%A1%EF%BC%89%E6%9F%90%E5%90%8C%E5%AD%A6%E7%9A%84%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%A0%94%E7%A9%B6%E6%80%A7%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E8%AF%BE%E9%A2%98%E6%98%AF%EF%BC%9A%E5%9C%A8%E6%A0%A1%E5%86%85%E4%B8%80%E5%9D%97%E4%B8%8D%E8%A7%84%E5%88%99%E5%9C%9F%E5%9C%B0OABC%EF%BC%88%E6%B5%8B%E7%BB%98%E5%9B%BE%E5%A6%82%E5%9B%BE%E6%89%80%E7%A4%BA%EF%BC%89%E8%A7%84%E5%88%92%E4%B8%80%E4%B8%AA%E7%9F%A9%E5%BD%A2%E8%BF%90%E5%8A%A8%E5%9C%BA%E5%9C%B0%EF%BC%8E)
(1)建立平面直角坐标系如图所示,设曲线段OC所在的抛物线方程为y=ax2(a>0),
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/a1/da1ea5b33d6f332f670f1f5a13fcc3d7.jpg)
由已知得点C的坐标为(20,40),代入方程得:a=
1
10.
∴抛物线的方程为y=
1
10x2;
(2)设矩形运动场在曲线段OC上的顶点(x,
1
10x2),则矩形面积:
S=(20+x)(40−
1
10x2)=−
1
10x3−2x2+40x+800(0≤x<20),
∴S′=−
1
10(x+20)(3x−20),
令S′=0,可得x=-20或x=
20
3.
∵0≤x<20,∴x=
20
3.
当0<x<
20
3时,S′>0;当x>
20
3时,S′<0.
∴x=
20
3是S的极大值点,也是最大值点.
答:当矩形的长为
80
3m.宽为
320
9m时,运动场地面积最大.
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由已知得点C的坐标为(20,40),代入方程得:a=
1
10.
∴抛物线的方程为y=
1
10x2;
(2)设矩形运动场在曲线段OC上的顶点(x,
1
10x2),则矩形面积:
S=(20+x)(40−
1
10x2)=−
1
10x3−2x2+40x+800(0≤x<20),
∴S′=−
1
10(x+20)(3x−20),
令S′=0,可得x=-20或x=
20
3.
∵0≤x<20,∴x=
20
3.
当0<x<
20
3时,S′>0;当x>
20
3时,S′<0.
∴x=
20
3是S的极大值点,也是最大值点.
答:当矩形的长为
80
3m.宽为
320
9m时,运动场地面积最大.
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