已知圆C过点M(0,-2)、N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/15 09:36:22
已知圆C过点M(0,-2)、N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
(1)求圆C的方程;
(2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
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(1)设圆C的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0
则有
−
D
2−E+1=0
4−2E+F=0
10+3D+E+F=0(2分)
解得
D=−6
E=4
F=4(4分)
∴圆C的方程为:x2+y2-6x+4y+4=0;(5分)
(2)设符合条件的实数a存在,
由于l垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l上.
所以l的斜率kPC=-2,
而kAB=a=−
1
kPC,所以a=
1
2.(7分)
把直线ax-y+1=0即y=ax+1.代入圆C的方程,
消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.
由于直线ax-y-1=0交圆C于A,B两点,
故△=36(a-1)2-36(a2+1)>0,
即-2a>0,解得a<0.
则实数a的取值范围是(-∞,0).(9分)
由于
1
2∉(−∞,0),假设错误,
故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.(10分)
则有
−
D
2−E+1=0
4−2E+F=0
10+3D+E+F=0(2分)
解得
D=−6
E=4
F=4(4分)
∴圆C的方程为:x2+y2-6x+4y+4=0;(5分)
(2)设符合条件的实数a存在,
由于l垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l上.
所以l的斜率kPC=-2,
而kAB=a=−
1
kPC,所以a=
1
2.(7分)
把直线ax-y+1=0即y=ax+1.代入圆C的方程,
消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.
由于直线ax-y-1=0交圆C于A,B两点,
故△=36(a-1)2-36(a2+1)>0,
即-2a>0,解得a<0.
则实数a的取值范围是(-∞,0).(9分)
由于
1
2∉(−∞,0),假设错误,
故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.(10分)
已知圆C过点M(0,-2)、N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.
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