搜狗做题网证明函数f(x)=lg(x+根号x2+1) 在R上为单调增函数
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/28 10:44:14
证明函数f(x)=lg(x+根号x2+1) 在R上为单调增函数
根号下（x平方+1）
为何(x2-x1)+[根号（x2平方+1）-根号（x1平方+1）]
>0
根号下（x平方+1）
为何(x2-x1)+[根号（x2平方+1）-根号（x1平方+1）]
>0
取x10
∴x+根号（x平方+1）在R上是单调增的
f(x2)=[x2+根号（x2平方+1）]
f(x1)=[x1+根号（x1平方+1）]
∵x2+根号（x2平方+1）>x1+根号（x1平方+1）
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)在R上为单调增函数
【说明】
(x2-x1)+[根号（x2平方+1）-根号（x1平方+1）]
=(x2-x1)+（x2平方-x1平方）/[根号（x2平方+1）+根号（x1平方+1）]【分子有理化】
=(x2-x1)+(x2-x1)(x2+x1)/[根号（x2平方+1）+根号（x1平方+1）]
=(x2-x1){1+(x2+x1)/[根号（x2平方+1）+根号（x1平方+1）]}
x2-x1>0,这个没问题吧
下面来解决1+(x2+x1)/[根号（x2平方+1）+根号（x1平方+1）]的符号
|x2|
∴x+根号（x平方+1）在R上是单调增的
f(x2)=[x2+根号（x2平方+1）]
f(x1)=[x1+根号（x1平方+1）]
∵x2+根号（x2平方+1）>x1+根号（x1平方+1）
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)在R上为单调增函数
【说明】
(x2-x1)+[根号（x2平方+1）-根号（x1平方+1）]
=(x2-x1)+（x2平方-x1平方）/[根号（x2平方+1）+根号（x1平方+1）]【分子有理化】
=(x2-x1)+(x2-x1)(x2+x1)/[根号（x2平方+1）+根号（x1平方+1）]
=(x2-x1){1+(x2+x1)/[根号（x2平方+1）+根号（x1平方+1）]}
x2-x1>0,这个没问题吧
下面来解决1+(x2+x1)/[根号（x2平方+1）+根号（x1平方+1）]的符号
|x2|
证明函数f(x)=lg(x+根号x2+1) 在R上为单调增函数
怎么证明函数f(x)=lg(x+根号下（x平方+1）) 在R上为单调增函数?帮忙一下,谢谢!
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