一道几何体在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中E、F分别是AB、BC的中点,EF交BD于N.问：棱BB1上是否

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/07 19:58:27

一道几何体
在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中E、F分别是AB、BC的中点,EF交BD于N.问：棱BB1上是否存在点M,使D1M⊥平面B1EF,并说明理由；若存在,试求A1N与D1M所成角.

用向量的方法解决这个问题最简单了：
第一问：以D为原点、向量DA为X轴正向、向量DC为Y轴正向、DD1为Z轴正向建立直角坐标系,原题中正方形棱长为a,我们在此为了方便令棱长为一个具体值（不会妨碍我们做题）,不妨设为2,那么我们很容易可以依次得到各点的坐标表示：D（0,0,0）,A（2,0,0）,B（2,2,0）,E（2,1,0）,F（1,2,0）,A1（2,0,2）,B1（2,2,2）,D1（0,0,2）,N（1.5,1.5,0）,且再设存在点M（2,2,z）,那么我们可以方便的表示一些所需要的向量（后面用小括号加字母表示）：（D1M）=（2,2,z-2）,(EB1)=(0,1,2),(FB1)=(1,0,2),若D1M⊥平面B1EF,则有（D1M）点乘(EB1)=0,（D1M）点乘(FB1)=0,也即2*0+2*1+2*（z-2）=0,2*1+2*0+2*(z-2)=0,解得z=1,即M点存在且为（2,2,1）.
第二问：假设A1N与D1M所成角为а,那么根据空间向量夹角公式我们有cos=cosа=[（A1N）*（D1M）]/[|（A1N）|*|（D1M）|]=（-0.5,1.5,-2）*（2,2,1）/[(根下6.5)*3]=4*（根下2）/[3*根下13],求出а即可.