正弦余弦定理的题① △ABC中,A=30°3a=根号下3b=12 ② △ABC中,cosA=1/4 若a=4 b+c=6
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 12:08:52
正弦余弦定理的题
① △ABC中,A=30°3a=根号下3b=12
② △ABC中,cosA=1/4 若a=4 b+c=6 且b<c 求b c
③ △ABC中,B=60°且最大边与最小边之比为(根号下3根号完+1):2求最大角
① △ABC中,A=30°3a=根号下3b=12
② △ABC中,cosA=1/4 若a=4 b+c=6 且b<c 求b c
③ △ABC中,B=60°且最大边与最小边之比为(根号下3根号完+1):2求最大角
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第一个问题:
∵3a=√3b=12,∴a=4、b=4√3,又A=30°,∴sinA=1/2,cosA=√3/2.
由正弦定理,有:b/sinB=a/sinA,
∴4/sinB=4√3/sim30°=4√3/(1/2)=8√3,∴sinB=4/(8√3)=1/(2√3)=√3/6.
∴cosB=√33/6,或cosB=-√33/6.
一、当cosB=√33/6时,有:
cosC
=cos(180°-B-A)=-cos(B+A)=sinBsinA-cosBcosA
=(√3/6)×(1/2)-(√33/6)×(√3/2)=√3/12-√11/4.
∴由余弦定理,有:
c^2
=a^2+b^2-2abcosC=16+48-2×4×4√3×(√3/12-√11/4)=64-8+8√33=56+8√33,
∴c=2√(14+2√33).
二、当cosB=-√33/6时,有:
cosC
=cos(180°-B-A)=-cos(B+A)=sinBsinA-cosBcosA
=(√3/6)×(1/2)-(-√33/6)×(√3/2)=√3/12+√11/4.
∴由余弦定理,有:
c^2
=a^2+b^2-2abcosC=16+48-2×4×4√3×(√3/12+√11/4)=64-8-8√33=56-8√33,
∴c=2√(14-2√33).
第二个问题:
∵b+c=6,∴b^2+c^2+2bc=36.······①
由余弦定理,有:b^2+c^2-2bccosA=a^2,∴b^2+c^2-(1/2)bc=16.······②
由①、②,得:(5/2)bc=20,∴bc=8.
∵b+c=6、bc=8,∴由韦达定理可知,b、c是方程x^2-6x+8=0的根.
由x^2-6x+8=0,得:(x-4)(x-2)=0,∴x=4,或x=2.
∴b、c中一者是4,另一者是2,即:b=4、c=2;或b=2、c=4.
第三个问题:
当B是△ABC中最大或最小的角时,△ABC是等边三角形,此时最大边和最小边的比是1∶1.
与题目给定的条件相矛盾.
不失一般性,设A最大,则C最小,∴a最大,c最小,∴a/c=(√3+1)/2.
∴结合正弦定理,容易得出:sinA/sinC=(√3+1)/2,
∴2sinA=(√3+1)sinC=(√3+1)sin(180°-B-A)=(√3+1)sin(B+A),
∴2sinA=(√3+1)sin(60°+A)=(√3+1)(sin60°cosA+cos60°sinA),
∴2sinA=(√3+1)[(√3/2)cosA+(1/2)sinA],
∴4sinA=(√3+1)√3cosA+(√3+1)sinA,
∴(3-√3)sinA=(√3+1)√3cosA,
∴(√3-1)sinA=(√3+1)cosA,
∴(3-1)sinA=(√3+1)^2cosA=(3+2√3+1)cosA=(4+2√3),
∴tanA=2+√3,∴A=75°,∴△ABC中的最大角是75°.
∵3a=√3b=12,∴a=4、b=4√3,又A=30°,∴sinA=1/2,cosA=√3/2.
由正弦定理,有:b/sinB=a/sinA,
∴4/sinB=4√3/sim30°=4√3/(1/2)=8√3,∴sinB=4/(8√3)=1/(2√3)=√3/6.
∴cosB=√33/6,或cosB=-√33/6.
一、当cosB=√33/6时,有:
cosC
=cos(180°-B-A)=-cos(B+A)=sinBsinA-cosBcosA
=(√3/6)×(1/2)-(√33/6)×(√3/2)=√3/12-√11/4.
∴由余弦定理,有:
c^2
=a^2+b^2-2abcosC=16+48-2×4×4√3×(√3/12-√11/4)=64-8+8√33=56+8√33,
∴c=2√(14+2√33).
二、当cosB=-√33/6时,有:
cosC
=cos(180°-B-A)=-cos(B+A)=sinBsinA-cosBcosA
=(√3/6)×(1/2)-(-√33/6)×(√3/2)=√3/12+√11/4.
∴由余弦定理,有:
c^2
=a^2+b^2-2abcosC=16+48-2×4×4√3×(√3/12+√11/4)=64-8-8√33=56-8√33,
∴c=2√(14-2√33).
第二个问题:
∵b+c=6,∴b^2+c^2+2bc=36.······①
由余弦定理,有:b^2+c^2-2bccosA=a^2,∴b^2+c^2-(1/2)bc=16.······②
由①、②,得:(5/2)bc=20,∴bc=8.
∵b+c=6、bc=8,∴由韦达定理可知,b、c是方程x^2-6x+8=0的根.
由x^2-6x+8=0,得:(x-4)(x-2)=0,∴x=4,或x=2.
∴b、c中一者是4,另一者是2,即:b=4、c=2;或b=2、c=4.
第三个问题:
当B是△ABC中最大或最小的角时,△ABC是等边三角形,此时最大边和最小边的比是1∶1.
与题目给定的条件相矛盾.
不失一般性,设A最大,则C最小,∴a最大,c最小,∴a/c=(√3+1)/2.
∴结合正弦定理,容易得出:sinA/sinC=(√3+1)/2,
∴2sinA=(√3+1)sinC=(√3+1)sin(180°-B-A)=(√3+1)sin(B+A),
∴2sinA=(√3+1)sin(60°+A)=(√3+1)(sin60°cosA+cos60°sinA),
∴2sinA=(√3+1)[(√3/2)cosA+(1/2)sinA],
∴4sinA=(√3+1)√3cosA+(√3+1)sinA,
∴(3-√3)sinA=(√3+1)√3cosA,
∴(√3-1)sinA=(√3+1)cosA,
∴(3-1)sinA=(√3+1)^2cosA=(3+2√3+1)cosA=(4+2√3),
∴tanA=2+√3,∴A=75°,∴△ABC中的最大角是75°.
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