已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线l过点A（4，0）且与抛物线交于P，Q两点．并设以弦PQ为直径的圆恒过原

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/09 23:02:55

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，直线l过点A（4，0）且与抛物线交于P，Q两点．并设以弦PQ为直径的圆恒过原点．
（Ⅰ）求焦点坐标；
（Ⅱ）若

（Ⅰ）设直线l方程为x=ky+4，代入y²=2px得y²-2kpy-8p=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则有y₁+y₂=2kp，y₁y₂=-8p
而

OP•

OQ＝0，
故0=x₁x₂+y₁y₂=（ky₁+4）（ky₂+4）-8p=k²y₁y₂+4k（y₁+y₂）+16-8p
即0=-8k²p+8k²p+16-8p，得p=2，焦点F（1，0）．
（Ⅱ）设R（x，y），由

FP+

FQ＝

FR
得（x₁-1，y₁）+（x₂-1，y₃）=（x-1，y）
所以x₁+x₂=x+1，y₁+y₂=y
而y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
可得y（y₁-y₂）=（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）
又FR的中点坐标为M(
x+1
2，
y
2)，
当x₁≠x₂时，利用k_PQ=k_MA有
4
y＝
y1−y2
x1−x2＝

y
2

x+1
2−4
整理得，y²=4x-28．
当x₁=x₂时，R的坐标为（7，0），也满足y²=4x-28．
所以y²=4x-28即为动点R的轨迹方程．

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线l过点A（4，0）且与抛物线交于P，Q两点．并设以弦PQ为直径的圆恒过原已知直线l过定点A（4,0）且与抛物线C:y²=2px(p>0)交于P、Q两点,若以PQ为直径的圆恒过原点O, 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（　　）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，Q是抛物线上除顶点外的任意一点，直线QO交准线于P点，过Q且平行于抛物线对称轴已知直线l过点M(4,0)且与抛物线y的平方=2px(p>0)交于A、B两点,以炫AB为直径的圆恒过坐标原点O.求抛物线已知：斜率为1的直线l过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB的中点到抛物 F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，过焦点F且倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，设|AF|=a，|BF|=b，则设p＞0是一常数,过点Q（2P,0）的直线与抛物线y²=2px交于相异两点A、B.求证：以线段AB为直径的圆过（2012•长宁区二模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P1，P2两点，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．