概率论,选择第二个,“相互独立”和“不相关”不是一回事吗?
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 05:53:39
概率论,选择第二个,“相互独立”和“不相关”不是一回事吗?
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X与Y独立,所以f(xy)=f(x)f(y)
X,Y不相关,E(XY)=E(X)E(Y)
(1)X与Y独立,则X与Y一定不相关
(2)X与Y不相关,则X与Y不一定独立
证明:
(1)由于X与Y独立,所以f(xy)=f(x)f(y),(f为概率密度函数)
于是:E(XY)=∫∫f(xy)dxdy
=∫∫[f(x)*f(y)]dxdy
=∫f(x)dx*∫f(y)dy
=E(X)E(Y)
所以:E(XY)=E(X)E(Y),即X,Y不相关.
(2)反例:
X=cost,Y=sint,其中t是(0,2π]上的均匀分布随机变量.
易得X和Y不相关,因为:
E(XY)=E(cost sint)=(1/2π)*∫sint cost dt = 0
E(X)=(1/2π)* ∫cost dt = 0
E(Y)=(1/2π)* ∫sint dt = 0
所以E(XY)=E(X)E(Y)
但是他们是不独立的.
因为:
X和Y各自的概率密度函数在(-1,1)上有值,但是XY的联合概率密度只在单位圆内有值,所以f(XY)不等于f(x)*f(y),两者不独立.
再问: 能不能举个例子?我还是不太明白?
X,Y不相关,E(XY)=E(X)E(Y)
(1)X与Y独立,则X与Y一定不相关
(2)X与Y不相关,则X与Y不一定独立
证明:
(1)由于X与Y独立,所以f(xy)=f(x)f(y),(f为概率密度函数)
于是:E(XY)=∫∫f(xy)dxdy
=∫∫[f(x)*f(y)]dxdy
=∫f(x)dx*∫f(y)dy
=E(X)E(Y)
所以:E(XY)=E(X)E(Y),即X,Y不相关.
(2)反例:
X=cost,Y=sint,其中t是(0,2π]上的均匀分布随机变量.
易得X和Y不相关,因为:
E(XY)=E(cost sint)=(1/2π)*∫sint cost dt = 0
E(X)=(1/2π)* ∫cost dt = 0
E(Y)=(1/2π)* ∫sint dt = 0
所以E(XY)=E(X)E(Y)
但是他们是不独立的.
因为:
X和Y各自的概率密度函数在(-1,1)上有值,但是XY的联合概率密度只在单位圆内有值,所以f(XY)不等于f(x)*f(y),两者不独立.
再问: 能不能举个例子?我还是不太明白?