要造一个圆柱形油罐,已知油罐上下两底面单位造价是侧面单位造价的a倍,体积为V,问底半径r和高h等于多少时,才能使该油罐的

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/05 21:08:19

要造一个圆柱形油罐,已知油罐上下两底面单位造价是侧面单位造价的a倍,体积为V,问底半径r和高h等于多少时,才能使该油罐的总造价最小?这时底直径与高的比是多少?

要造一个圆柱形油罐,已知油罐上下两底面单位造价是侧面单位造价的a倍,体积为V,问底半径r和高h等于多少时,才能使该油罐的总造价最小?这时底直径与高的比是多少?
设侧面单位造价为1,那么底面的单位造价为a,于是总造价Q=2aπr²+2πrh.(1)；
V=πr²h.(2)；由(2)得h=V/πr²,代入(1)式得Q=2aπr²+2V/r.(3)
对(3)取导数,并令dQ/dr=4aπr-2V/r²=0,即有2aπr³=V,故得极小点r=[V/(2aπ)]^(1/3).(4)
将(4)代入(2)式得h=V/(πr²)=(2aV²/π²)^(2/3).
底直径与高之比=D/h=2r/h=2{[V/(2aπ)]^(1/3)}/[(2aV²/π²)^(2/3)]=π/(aV)
即当r=[V/(2aπ)]^(1/3),h=(2aV²/π²)^(2/3)时总造价最低,此时底直径和高之比=π/(aV)