给正整数n,求n分为4个小于十的非负整数的方法数S(n).求公式 其中顺序不同算不同的方法.
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/18 23:12:41
给正整数n,求n分为4个小于十的非负整数的方法数S(n).求公式 其中顺序不同算不同的方法.
举例:S(2)=10,因为有0002,0020,0200,2000,0011,0101,0110,1001,1010,1100 十种方法.
原题是小于10000的所有正整数中,各位数相加和是n的一用有几个.
用母函数,要用到P(n,k)
举例:S(2)=10,因为有0002,0020,0200,2000,0011,0101,0110,1001,1010,1100 十种方法.
原题是小于10000的所有正整数中,各位数相加和是n的一用有几个.
用母函数,要用到P(n,k)
![给正整数n,求n分为4个小于十的非负整数的方法数S(n).求公式 其中顺序不同算不同的方法.](/uploads/image/z/3521034-18-4.jpg?t=%E7%BB%99%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0n%2C%E6%B1%82n%E5%88%86%E4%B8%BA4%E4%B8%AA%E5%B0%8F%E4%BA%8E%E5%8D%81%E7%9A%84%E9%9D%9E%E8%B4%9F%E6%95%B4%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%96%B9%E6%B3%95%E6%95%B0S%28n%29.%E6%B1%82%E5%85%AC%E5%BC%8F+%E5%85%B6%E4%B8%AD%E9%A1%BA%E5%BA%8F%E4%B8%8D%E5%90%8C%E7%AE%97%E4%B8%8D%E5%90%8C%E7%9A%84%E6%96%B9%E6%B3%95.)
记S(n)的母函数为f(x),显然f(x)=(1+x+x^2+…+x^9)^4.
f(x)=(1-x^10)^4/(1-x)^4
=(1-4x^10+6x^20+4x^30+x^40)*∑{n=0->∞} C(n+3,3)x^n
=∑{n=0->∞} [C(n+3,3)-4*C(n-7,3)+6*C(n-17,3)-4*C(n-27,3)+C(n-37,3)]x^n.
即:S(n) = C(n+3,3)-4*C(n-7,3)+6*C(n-17,3)-4*C(n-27,3)+C(n-37,3).
其中C(n,k)表示n选k的组合数,n
f(x)=(1-x^10)^4/(1-x)^4
=(1-4x^10+6x^20+4x^30+x^40)*∑{n=0->∞} C(n+3,3)x^n
=∑{n=0->∞} [C(n+3,3)-4*C(n-7,3)+6*C(n-17,3)-4*C(n-27,3)+C(n-37,3)]x^n.
即:S(n) = C(n+3,3)-4*C(n-7,3)+6*C(n-17,3)-4*C(n-27,3)+C(n-37,3).
其中C(n,k)表示n选k的组合数,n
给正整数n,求n分为4个小于十的非负整数的方法数S(n).求公式 其中顺序不同算不同的方法.
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