a^3+b^3+c^3>=3abc如何用柯西不等式证明
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/07 10:28:06
a^3+b^3+c^3>=3abc如何用柯西不等式证明
a^3+b^3+c^3≥3abc有前提条件是a、b、c均为非负数;
当a=b=c=0时,不等式显然成立;
当a、b、c均大于0时,要证a^3+b^3+c^3≥3abc,即证(a^3+b^3+c^3)/abc=(a^2/bc)+(b^2/ac)+(c^2/ab)≥3;
∵由柯西不等式:[(a/b)+(b/a)][(b/a)+(a/b)]≥(1+1)^2=4,[(a/b)+(b/a)]^2=[(a^2+b^2)/ab]^2≥4,
(a^2+b^2)/ab≥2,a^2+b^2≥2ab,1/ab≥2/(a^2+b^2)
∴(a^2/bc)+(b^2/ac)+(c^2/ab)≥2a^2/(b^2+c^2)+2b^2/(a^2+c^2)+2c^2/(a^2+b^2)
令b^2+c^2=x,a^2+c^2=y,a^2+b^2=z,则a^2+b^2+c^2=(x+y+z)/2
∴a^2=(y+z-x)/2,b^2=(x+z-y)/2,c^2=(x+y-z)/2
∴2a^2/(b^2+c^2)+2b^2/(a^2+c^2)+2c^2/(a^2+b^2)=(y+z-x)/x+(x+z-y)/y+(x+y-z)/z
=(y/x)+(z/x)-1+(x/y)+(z/y)-1+(x/z)+(y/z)-1=[(y/x)+(x/y)]+[(z/x)+(x/z)]+[(z/y)+(y/z)]-3
≥2+2+2-3=3,等号当且仅当x=y=z时即a=b=c时成立
∵(a^3+b^3+c^3)/abc≥2a^2/(b^2+c^2)+2b^2/(a^2+c^2)+2c^2/(a^2+b^2)≥3
∴a^3+b^3+c^3≥3abc(a、b、c≥0),等号当且仅当a=b=c时成立
当a=b=c=0时,不等式显然成立;
当a、b、c均大于0时,要证a^3+b^3+c^3≥3abc,即证(a^3+b^3+c^3)/abc=(a^2/bc)+(b^2/ac)+(c^2/ab)≥3;
∵由柯西不等式:[(a/b)+(b/a)][(b/a)+(a/b)]≥(1+1)^2=4,[(a/b)+(b/a)]^2=[(a^2+b^2)/ab]^2≥4,
(a^2+b^2)/ab≥2,a^2+b^2≥2ab,1/ab≥2/(a^2+b^2)
∴(a^2/bc)+(b^2/ac)+(c^2/ab)≥2a^2/(b^2+c^2)+2b^2/(a^2+c^2)+2c^2/(a^2+b^2)
令b^2+c^2=x,a^2+c^2=y,a^2+b^2=z,则a^2+b^2+c^2=(x+y+z)/2
∴a^2=(y+z-x)/2,b^2=(x+z-y)/2,c^2=(x+y-z)/2
∴2a^2/(b^2+c^2)+2b^2/(a^2+c^2)+2c^2/(a^2+b^2)=(y+z-x)/x+(x+z-y)/y+(x+y-z)/z
=(y/x)+(z/x)-1+(x/y)+(z/y)-1+(x/z)+(y/z)-1=[(y/x)+(x/y)]+[(z/x)+(x/z)]+[(z/y)+(y/z)]-3
≥2+2+2-3=3,等号当且仅当x=y=z时即a=b=c时成立
∵(a^3+b^3+c^3)/abc≥2a^2/(b^2+c^2)+2b^2/(a^2+c^2)+2c^2/(a^2+b^2)≥3
∴a^3+b^3+c^3≥3abc(a、b、c≥0),等号当且仅当a=b=c时成立
a^3+b^3+c^3>=3abc如何用柯西不等式证明
柯西不等式证明a^3+b^3+c^3>=3abc
高中不等式证明已知abc=1,且a,b,c为实数,证明:1/a+1/b+1/c+3/(a+b+c)>=4
a/b+b/c+c/a+3(abc)^(1/3)/a+b+c>=4证明上面不等式成立,其中a.b.c都是正实数.
求助!证明:对于任意正数a,b,c,成立不等式abc^3
设a,b,c属于R+,用排序不等式证明:(a^a)*(b^b)*(c^c)≥(abc)^((a+b+c)/3)
不等式证明设a,b,c为正数求证:1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(a^3+c^3+
a,b,c∈R+,求证a^3+b^3+c^3≥a^b+b^2c+c^2a 构造柯西不等式证明
设a,b,c为正数,利用排序不等式证明a3+b3+c3≥3abc.
如何证明不等式a的立方加b的立方加c的立方大于等于3abc,其中a,b,c>0
均值不等式abc为整数 证明 a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2≥6√3 ,
证明 (a+b+c)/3大于等于三倍根号abc