在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1为到定点F(22,22)的距离与到定直线l1:x+y+2=0的距离相等的动点P的轨
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/06/28 23:58:02
在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1为到定点F(
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解(1)设P(x,y),由题意知曲线C1为抛物线,并且有
(x−
2
2)2+(y−
2
2)2=
|x+y+
2|
2,
化简得抛物线C1的方程为:x2+y2-2xy-4
2x-4
2y=0.
令x=0,得y=0或y=4
2;再令y=0,得x=0或x=4
2,
所以,曲线C1与坐标轴的交点坐标为(0,0)、(0,4
2)和(4
2,0).
点F(
2
2,
2
2)到l1:x+y+
2=0的距离为
|
2
2+
2
2+
2|
2=2,
所以C2是以(1,0)为焦点,以x=-1为准线的抛物线,其方程为:y2=4x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线l2的斜率k存在且不为零,
设直线l2的方程为y=k(x-m),代入y2=4x得
y2-
4
ky-4m=0,可得y1y2=-4m.
由
AM=λ
MB,得(m-x1,-y1)=λ(x2-m,y2),可得λ=−
y1
y2,
而N(-m,0),可得
NA-λ
NB=(x1+m,y1)-λ(x2+m,y2)=(x1-λx2+(1-λ)m,y1-λy2)
∵
NM=(2m,0),
∴
NM•(
NA-λ
NB)=2m[x1-λx2+(1-λ)m]=2m[
y12
4+
y1
y2-
y22
4+(1+
y1
y2)m]
=2m(y1+y2)•
y1y2+4m
4y2=2m(y1+y2)•
−4m+4m
4y2=0
∴对任意的λ满足
AM=λ
MB,都有
NM⊥(
NA-λ
NB).
(x−
2
2)2+(y−
2
2)2=
|x+y+
2|
2,
化简得抛物线C1的方程为:x2+y2-2xy-4
2x-4
2y=0.
令x=0,得y=0或y=4
2;再令y=0,得x=0或x=4
2,
所以,曲线C1与坐标轴的交点坐标为(0,0)、(0,4
2)和(4
2,0).
点F(
2
2,
2
2)到l1:x+y+
2=0的距离为
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2
2+
2
2+
2|
2=2,
所以C2是以(1,0)为焦点,以x=-1为准线的抛物线,其方程为:y2=4x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线l2的斜率k存在且不为零,
设直线l2的方程为y=k(x-m),代入y2=4x得
y2-
4
ky-4m=0,可得y1y2=-4m.
由
AM=λ
MB,得(m-x1,-y1)=λ(x2-m,y2),可得λ=−
y1
y2,
而N(-m,0),可得
NA-λ
NB=(x1+m,y1)-λ(x2+m,y2)=(x1-λx2+(1-λ)m,y1-λy2)
∵
NM=(2m,0),
∴
NM•(
NA-λ
NB)=2m[x1-λx2+(1-λ)m]=2m[
y12
4+
y1
y2-
y22
4+(1+
y1
y2)m]
=2m(y1+y2)•
y1y2+4m
4y2=2m(y1+y2)•
−4m+4m
4y2=0
∴对任意的λ满足
AM=λ
MB,都有
NM⊥(
NA-λ
NB).
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