若f(x)=x^2/2-1/2+m g(x)=ln(x^2+1)是否存在实数m,使得两函数图像恰有四个不同的交点
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/11 16:14:46
若f(x)=x^2/2-1/2+m g(x)=ln(x^2+1)是否存在实数m,使得两函数图像恰有四个不同的交点
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这个问题要一步一步化归
<1>f(x)是偶函数,g(x)也是偶函数,他们的定义域都是R,所以两函数图像恰有四个不同的交点等价于在x>0的时候,有2个不同交点.[f(0)与g(0)不能相等,否则焦点数为奇数个]
<2>f(x) = 1/2(x^2+1)-1-m; g(x) = ln(x^2+1)
h(x)=x^2+1 可以取遍 (1,+∞)所有实数,且h(x) 在x>0 时候是递增的.令n=x^2+1
设F(n) =n/2-1+m;G(n)=ln n ;可知f(x)与g(x) 在x>0的时候,有2个不同交点等价于F(x)与G(x)在x>0的时候,有2个不同交点
G`(n)=1/n当 G`(n)=1/n =1/2 时候,n=2,x=1 G(2) = ln2
接下来数形结合 可知 ln2<m<1/2
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/17/b17d437f8f543df6211c1acaa4dc84dc.jpg)
<1>f(x)是偶函数,g(x)也是偶函数,他们的定义域都是R,所以两函数图像恰有四个不同的交点等价于在x>0的时候,有2个不同交点.[f(0)与g(0)不能相等,否则焦点数为奇数个]
<2>f(x) = 1/2(x^2+1)-1-m; g(x) = ln(x^2+1)
h(x)=x^2+1 可以取遍 (1,+∞)所有实数,且h(x) 在x>0 时候是递增的.令n=x^2+1
设F(n) =n/2-1+m;G(n)=ln n ;可知f(x)与g(x) 在x>0的时候,有2个不同交点等价于F(x)与G(x)在x>0的时候,有2个不同交点
G`(n)=1/n当 G`(n)=1/n =1/2 时候,n=2,x=1 G(2) = ln2
接下来数形结合 可知 ln2<m<1/2
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/17/b17d437f8f543df6211c1acaa4dc84dc.jpg)
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