八(1)班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角设计了如下方案:
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/20 02:39:37
八(1)班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角设计了如下方案:
(Ⅰ)∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(Ⅱ)∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(1)在方案一的前提下,请你在设计一种方案(不同于方案2),使过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(Ⅰ)∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(Ⅱ)∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(1)在方案一的前提下,请你在设计一种方案(不同于方案2),使过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
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分析:(1)方案(Ⅰ)中判定PM=PN并不能判断P就是∠AOB的角平分线,关键是缺少△OPM≌△OPN的条件,只有“边边”的条件;
方案(Ⅱ)中△OPM和△OPN是全等三角形(三边相等),则∠MOP=∠NOP,所以OP为∠AOB的角平分线;
(2)可行.此时△OPM和△OPN都是直角三角形,可以利用HL证明它们全等,然后利用全等三角形的性质即可证明OP为∠AOB的角平分线.(1)方案(Ⅰ)不可行.缺少证明三角形全等的条件,
∵只有OP=OP,PM=PN不能判断△OPM≌△OPN;
∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线;
方案(Ⅱ)可行.
证明:在△OPM和△OPN中
OM=ON PM=PN OP=OP
∴△OPM≌△OPN(SSS),
∴∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等)(5分);
∴OP就是∠AOB的平分线.
(2)当∠AOB是直角时,方案(Ⅰ)可行.
∵四边形内角和为360°,又若PM⊥OA,PN⊥OB,∠OMP=∠ONP=90°,∠MPN=90°,
∴∠AOB=90°,
∵若PM⊥OA,PN⊥OB,
且PM=PN,
∴OP为∠AOB的平分线(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上);
当∠AOB不为直角时,此方案不可行.
方案(Ⅱ)中△OPM和△OPN是全等三角形(三边相等),则∠MOP=∠NOP,所以OP为∠AOB的角平分线;
(2)可行.此时△OPM和△OPN都是直角三角形,可以利用HL证明它们全等,然后利用全等三角形的性质即可证明OP为∠AOB的角平分线.(1)方案(Ⅰ)不可行.缺少证明三角形全等的条件,
∵只有OP=OP,PM=PN不能判断△OPM≌△OPN;
∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线;
方案(Ⅱ)可行.
证明:在△OPM和△OPN中
OM=ON PM=PN OP=OP
∴△OPM≌△OPN(SSS),
∴∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等)(5分);
∴OP就是∠AOB的平分线.
(2)当∠AOB是直角时,方案(Ⅰ)可行.
∵四边形内角和为360°,又若PM⊥OA,PN⊥OB,∠OMP=∠ONP=90°,∠MPN=90°,
∴∠AOB=90°,
∵若PM⊥OA,PN⊥OB,
且PM=PN,
∴OP为∠AOB的平分线(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上);
当∠AOB不为直角时,此方案不可行.
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